Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống

Giải Toán 11 Bài 3: Cấp số cộng

Video Giải Bài tập 3 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài tập 3 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:

u1	d	n	un	Sn
-2		55	20
	-4		15	120
3	$\frac{4}{27}$	7
		17	12	72
2	-5			-205

Lời giải:

a) Ta có: u_n = u₁ + (n – 1).d

$\Rightarrow \text{n}=\frac{{\text{u}}_{\text{n}}-{\text{u}}_1}{\text{d}}+1;\text{d}=\frac{{\text{u}}_{\text{n}}-{\text{u}}_1}{\text{n}-1}$

Ta có: 

$S_n=n.u_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}\Rightarrow {\text{u}}_1=\frac{2.{\text{S}}_{\text{n}}-\text{n}(\text{n}-1).\text{d}}{2\text{n}}$

Hay ${\text{u}}_1=\frac{2{\text{S}}_{\text{n}}-{\text{n.u}}_{\text{n}}}{n}$

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.

b) Dòng đầu: Biết u₁= −2; u₂₀ = 55. Tìm dvà S₂₀.

Ta có u₂₀ = u₁ + 19d

$\iff 55=-2+19d\iff d=3$

$S_{20}=\frac{20\left(u_1+u_{20}\right)}{2}=\frac{20.\left(-2+55\right)}{2}=530$

Dòng 2: Biết d = −4; S₁₅ = 120 , tìm u₁ và u₁₅.

Ta có 

$S_{15}=15u_1+\frac{15.\left(15-1\right)}{2}.d\iff 120=15.u_1+105.\left(-4\right)\iff 15u_1=540\iff u_1=36$   

Suy ra u₁₅ = u₁ + 14d = 36 + 14.(−4) = −20

Dòng 3: Biết u₁ = 3; d = ; u_n = 7. Tìm nvà tính S_n.

Ta có u_n = u₁ + (n − 1)d

$\iff 7=3+\left(n-1\right).\frac{4}{27}\iff n=28$

$S_{28}=28u_1+\frac{28.\left(28-1\right)}{2}.d=28.3+378.\frac{4}{27}=140$

Dòng 4: Biết u₁₂ = 17 và S₁₂ = 72. Tìm u₁ và d.

$S_{12}=\frac{12\left(u_1+u_{12}\right)}{2}\iff 72=\frac{12\left(u_1+17\right)}{2}\iff u_1+17=12\iff u_1=-5$

u₁₂ = u₁ + 11d

$\iff 17=-5+11d\iff 22=11d\iff d=2$

Dòng 5: Biết u₁ = 2; d = −5 và S_n = −205. Tìm n và tính u_n.

Ta có:

$S_n=n{u}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d\iff -205=n.2+\frac{n\left(n-1\right)}{2}.(-5)\iff -410=4n-5n\left(n-1\right)\iff 5n^2-9n–410=0\iff \begin{array}{l}n=10\\ n=-\frac{41}{5}\left(loại\right)\end{array}$

Suy ra n = 10

Suy ra u₁₀ = u₁ + 9d = 2 + 9.(−5) = −43

Vậy ta điền được bảng như sau :

u1	d	n	un	Sn
-2	3	55	20	530
36	-4	-20	15	120
3	$\frac{4}{27}$	7	28	140
-5	2	17	12	72
2	-5	-43	10	-205