Hãy chứng minh các hệ quả trên và lấy ví dụ minh họa

Giải Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Hoạt động 5 trang 160 SGK Toán lớp 11 Đại số:

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì (ku)' = ku'.

Hệ quả 2: ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}\left(v=v\left(x\right)\ne 0\right)$.

Lời giải:

Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì (ku)′ = ku′

Thật vậy, ta có: (ku)′ = k′u + ku′ = 0.u + ku′ = ku′ (do đạo hàm của hàm hằng bằng 0)

Ví dụ: (3x²)′ = 3.(x²)′ = 3.2x = 6x

Hệ quả 2: ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}(v=v(x)\ne 0)$

Thật vậy, ta có:${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{1^{\text{'}}v-1.v^{\text{'}}}{v^2}=\frac{0.v-v^{\text{'}}}{v^2}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}$

Ví dụ: ${\left(\frac{1}{2x+1}\right)}^{\text{'}}=-\frac{(2x+1{)}^{\text{'}}}{{(2x+1)}^2}=-\frac{2}{{(2x+1)}^2}$ .