Bằng định nghĩa tìm đạo hàm của các hàm số sau

Giải Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bài tập 1 trang 162 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) y = 7 + x – x² tại x₀ = 1;

b) y = x³ – 2x + 1 tại x₀ = 2.

Lời giải:

a) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ = 1. Ta có:

$\Delta y=f(1+\Delta x)-f\left(1\right)$

$\Delta y=7+(1+\Delta x)-{(1+\Delta x)}^2-7$

$\Delta y=1+\Delta x-1-2\Delta x-{\left(\Delta x\right)}^2$

$\Delta y=-{\left(\Delta x\right)}^2-\Delta x$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\Delta x-1$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }(-\Delta x-1)=-1$

Vậy f′(1) = –1

b) Giả sử $\Delta x$là số gia của số đối tại x₀ = 2. Ta có:

$\Delta y=f(2+\Delta x)-f\left(2\right)$

$\Delta y={(2+\Delta x)}^3-2(2+\Delta x)+1-5$

$\Delta y=8+12\Delta x+6{\left(\Delta x\right)}^2+{\left(\Delta x\right)}^3-4-2\Delta x-4$

$\Delta y={\left(\Delta x\right)}^3+6{\left(\Delta x\right)}^2+10\Delta x$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}={\left(\Delta x\right)}^2+6\Delta x+10$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left({\left(\Delta x\right)}^2+6\Delta x+10\right)=10$

Vậy f′(2) = 10