Giải Toán 12 trang 19 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 19Tập 1

Bài 1.10 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=-x^2+4x+3$;b) $y=x^3-2x^2+1$ trên $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$;c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$;
d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải:

a) Ta có: $y=-x^2+4x+3=-{\left(x-2\right)}^2+7\le 7$ với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi $x-2=0\iff x=2$.

Do đó, $maxf\left(x\right)=f\left(2\right)=7$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) GTLN, GTNN của $y=x^3-2x^2+1$ trên $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-4x,y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\left(tm\right)\\ x=\frac{4}{3}\left(tm\right)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left[0;+\mathrm{\infty }\right)}{min}y=y\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{-5}{27}$, hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff x=1+\sqrt{2}$ (do $x\in \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$)

Do đó, $\underset{\left(1;+\mathrm{\infty }\right)}{min}y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

d) Tập xác định của hàm số là: $D=\left[0;2\right]$

$y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{4-4x}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$

$y^{\prime }=0\iff x=1\left(tm\right)$

$y\left(0\right)=0;y\left(1\right)=\sqrt{2};y\left(2\right)=0$

Do đó, $\underset{\left[0;2\right]}{max}y=y\left(1\right)=\sqrt{2},\underset{\left[0;2\right]}{min}y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0$

Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+3$;

b) $y=x.e^{-x}$;

c) $y=x\ln x$;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải:

a) $y=x^4-2x^2+3$

$y^{\prime }=4x^3-4x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

$y\left(0\right)=3;y\left(1\right)=y\left(-1\right)=2$

Do đó, $\underset{\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}{max}y=y\left(0\right)=3,\underset{\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}{min}y=y\left(1\right)=y\left(-1\right)=2$

b) Ta có:$y^{\prime }=e^{-x}-x.e^{-x},y^{\prime }=0\iff e^{-x}-x.e^{-x}=0\iff e^{-x}\left(1-x\right)=0\iff x=1$

Bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}{max}y=y\left(1\right)=\frac{1}{e}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là: $D=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

$y^{\prime }=\ln x+x.\frac{1}{x}=\ln x+1,y^{\prime }=0\iff \ln x+1=0\iff x=\frac{1}{e}$ (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất, $\underset{\left(0;+\mathrm{\infty }\right)}{min}y=y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{-1}{e}$

d) Tập xác định của hàm số là $\left[1;3\right]$.

$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}},y^{\prime }=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0\iff \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{3-x}\sqrt{x-1}}=0$

$\iff \sqrt{3-x}=\sqrt{x-1}\iff 3-x=x-1\iff x=2\left(tm\right)$

$y\left(1\right)=\sqrt{2};y\left(2\right)=2;y\left(3\right)=\sqrt{2}$

Do đó, $\underset{\left[1;3\right]}{max}y=y\left(2\right)=2,\underset{\left[1;3\right]}{min}y=y\left(1\right)=y\left(3\right)=\sqrt{2}$

Bài 1.12 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-6x+3$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$;

b) $y=x^4-3x^2+2$ trên đoạn $\left[0;3\right]$;

c) $y=x-\sin 2x$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$;

d) $y=\left(x^2-x\right)e^x$ trên đoạn $\left[0;1\right]$.

Lời giải:

a) Ta có: $y^{\prime }=6x^2-6,y^{\prime }=0\iff 6x^2-6=0\iff x=\pm 1$ (thỏa mãn)

$y\left(-1\right)=7,y\left(1\right)=-1,y\left(2\right)=7$

Do đó, $\underset{\left[-1;2\right]}{max}y=y\left(2\right)=y\left(-1\right)=7,\underset{\left[-1;2\right]}{min}y=y\left(1\right)=-1$

b) Ta có: $y^{\prime }=4x^3-6x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-6x=0\iff x=0;x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (do $x\in \left[0;3\right]$)

$y\left(0\right)=2;y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=\frac{-1}{4};y\left(3\right)=56$

Do đó, $\underset{\left[0;3\right]}{max}y=y\left(3\right)=56,\underset{\left[0;3\right]}{min}y=y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=\frac{-1}{4}$

c) Ta có:$y^{\prime }=1-2\cos 2x,y^{\prime }=0\iff 1-2\cos 2x=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Mà $x\in \left[0;\pi \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{6};x=\frac{5\pi }{6}$

$y\left(0\right)=0;y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2};y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2};y\left(\pi \right)=\pi$

Do đó, $\underset{\left[0;\pi \right]}{max}y=y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2},\underset{\left[0;\pi \right]}{min}y=y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) $y^{\prime }=\left(2x-1\right)e^x+\left(x^2-x\right)e^x=e^x\left(x^2+x-1\right)$

$y^{\prime }=0\iff e^x\left(x^2+x-1\right)=0\iff x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (do $x\in \left[0;1\right]$)

$y\left(0\right)=0;y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}};y\left(1\right)=0$

Do đó, $\underset{\left[0;1\right]}{max}y=y\left(0\right)=y\left(1\right)=0,\underset{\left[0;1\right]}{min}y=y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$

Bài 1.13 trang 19 Toán 12 Tập 1: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, $0<x<12$)

Chiều rộng của hình chữ nhật là $12-x\left(cm\right)$

Diện tích của hình chữ nhật là: $x\left(12-x\right)=-x^2+12x\left(c{m}^2\right)$

Đặt $S\left(x\right)=-x^2+12x,x\in \left(0;12\right)$

$S^{\prime }\left(x\right)=-2x+12,S^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=6\left(tm\right)$

Bảng biến thiên:

Do đó, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là $36c{m}^2$.

Bài 1.14 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $108c{m}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải:

Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là x (cm, $x>0$) và chiều cao là h (cm, $h>0$)

Diện tích bề mặt của hình hộp là $108c{m}^2$ nên $x^2+4xh=108\Rightarrow h=\frac{108-x^2}{4x}\left(cm\right)$

Thể tích của hình hộp là: $V=x^2.h=x^2.\frac{108-x^2}{4x}=\frac{108x-x^3}{4}\left(c{m}^3\right)$

Ta có: $V^{\prime }=\frac{-3x^2+108}{4},V^{\prime }=0\iff x=6$ (do $x>0$)

Bảng biến thiên:

Do đó, thể tích của hình hộp là lớn nhất khi độ dài cạnh đáy $x=6$cm

Khi đó, chiều cao của hình hộp là: $\frac{108-6^2}{4.6}=3\left(cm\right)$.

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1000c{m}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/$c{m}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/$c{m}^2$. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, $x>0$)

Chiều cao của bình là: $\frac{1000}{\pi .x^2}\left(cm\right)$

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: $T\left(x\right)=2.1,2.\pi .x^2+0,75.\frac{2000}{x}=2,4\pi .x^2+\frac{1500}{x}$ (nghìn đồng)

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

$T^{\prime }\left(x\right)=4,8\pi x-\frac{1500}{x^2},T^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}$ (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là $\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}cm$ và chiều cao của bình là: $\frac{1000}{\pi .{\left(\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\right)}^2}\left(cm\right)$