Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) y = căn 2x = x^2

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Luyện tập 1 trang 17Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-x^2}$;

b) $y=-x+\frac{1}{x-1}$ trên khoảng $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $\left[0;2\right]$.

Với $x\in \left[0;2\right]$ ta có: $y^{\prime }=\frac{{\left(2x-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{-x+1}{\sqrt{2x-x^2}}$, $y^{\prime }=0\iff \frac{-x+1}{\sqrt{2x-x^2}}=0\iff x=1\left(tm\right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[0;2\right]$:

5

Từ bảng biến thiên ta thấy: $\underset{\left[-1;1\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(0\right)=f\left(2\right)=0,\underset{\left[-1;1\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=1$.

b) Với $x\in \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ ta có:

Ta có: $y^{\prime }=-1+\frac{-1}{{\left(x-1\right)}^2}<0\mathrm{\forall }x\in \left(1;+\mathrm{\infty }\right)$

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(-x+\frac{1}{x-1}\right)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x+\frac{1}{x-1}\right)=-\mathrm{\infty }$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$:

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$.