Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) y = x^4 - 2x^2 + 3

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=x^4-2x^2+3$;

b) $y=x.e^{-x}$;

c) $y=x\ln x$;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải:

a) $y=x^4-2x^2+3$

$y^{\prime }=4x^3-4x,y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

$y\left(0\right)=3;y\left(1\right)=y\left(-1\right)=2$

Do đó, $\underset{\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}{max}y=y\left(0\right)=3,\underset{\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}{min}y=y\left(1\right)=y\left(-1\right)=2$

b) Ta có:$y^{\prime }=e^{-x}-x.e^{-x},y^{\prime }=0\iff e^{-x}-x.e^{-x}=0\iff e^{-x}\left(1-x\right)=0\iff x=1$

Bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}{max}y=y\left(1\right)=\frac{1}{e}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là: $D=\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$

$y^{\prime }=\ln x+x.\frac{1}{x}=\ln x+1,y^{\prime }=0\iff \ln x+1=0\iff x=\frac{1}{e}$ (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất, $\underset{\left(0;+\mathrm{\infty }\right)}{min}y=y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{-1}{e}$

d) Tập xác định của hàm số là $\left[1;3\right]$.

$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}},y^{\prime }=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0\iff \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{3-x}\sqrt{x-1}}=0$

$\iff \sqrt{3-x}=\sqrt{x-1}\iff 3-x=x-1\iff x=2\left(tm\right)$

$y\left(1\right)=\sqrt{2};y\left(2\right)=2;y\left(3\right)=\sqrt{2}$

Do đó, $\underset{\left[1;3\right]}{max}y=y\left(2\right)=2,\underset{\left[1;3\right]}{min}y=y\left(1\right)=y\left(3\right)=\sqrt{2}$