Xét hàm số y = f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 trên đoạn [-1;2], với đồ thị như Hình 1.16

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

HĐ2trang 17 Toán 12 Tập 1: Xét hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-2x^2+1$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$, với đồ thị như Hình 1.16.

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-1;2\right]$.

b) Tính đạo hàm f’(x) và tìm các điểm $x\in \left(-1;2\right)$ mà $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn $\left[-1;2\right]$ và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{min}f\left(x\right)$, số lớn nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)$.

Lời giải:

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, trên đoạn $\left[-1;2\right]$ ta có:

+ Giá trị lớn nhất của hàm số là $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(0\right)=f\left(2\right)=1$.

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\underset{\left[-1;2\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(-1\right)=-2$.

b) $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4x,f^{\prime }\left(x\right)=0\iff 3x^2-4x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$

Vậy $x=0,x=\frac{4}{3}$ thì $f^{\prime }\left(x\right)=0$.

c) Ta có:$f\left(0\right)=1;f\left(\frac{4}{3}\right)={\left(\frac{4}{3}\right)}^3-2.{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+1=\frac{-5}{27};f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-2.{\left(-1\right)}^2+1=-2$;

$f\left(2\right)=2^3-{2.2}^2+1=1$

Do đó, số nhỏ nhất trong các giá trị này là $-2$, số lớn nhất trong các giá trị này là 1.

Ta thấy: $\underset{\left[-1;2\right]}{max}f\left(x\right)=1$, $\underset{\left[-1;2\right]}{min}f\left(x\right)=-2$.