Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 2x^3 - 3x^2 + 5x + 2 trên đoạn 0;2

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Luyện tập 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-3x^2+5x+2$ trên đoạn $\left[0;2\right]$;

b) $y=\left(x+1\right)e^{-x}$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$.

Lời giải:

a) Ta có:$y^{\prime }=6x^2-6x+5=6\left(x^2-x+\frac{5}{6}\right)=6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}>0\mathrm{\forall }x\in \left[0;2\right]$

Do đó, hàm số $y=2x^3-3x^2+5x+2$ đồng biến trên $\left[0;2\right]$.

Ta có: $y\left(0\right)=2;y\left(2\right)={2.2}^3-{3.2}^2+5.2+2=16$

Do đó, $\underset{\left[0;2\right]}{max}y=y\left(2\right)=16,\underset{\left[0;2\right]}{min}y=y\left(0\right)=2$

b) Ta có: $y^{\prime }=e^{-x}-\left(x+1\right)e^{-x}=e^{-x}\left(1-x-1\right)=-x.e^{-x}$

$y^{\prime }=0\iff -x.e^{-x}=0\iff x=0$ (thỏa mãn $x\in \left[-1;1\right]$)

$y\left(-1\right)=0;y\left(0\right)=1;y\left(1\right)=\frac{2}{e}$

Do đó, $\underset{\left[-1;1\right]}{max}y=y\left(0\right)=1,\underset{\left[-1;1\right]}{min}y=y\left(-1\right)=0$