Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000cm^3

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1000c{m}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/$c{m}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/$c{m}^2$. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, $x>0$)

Chiều cao của bình là: $\frac{1000}{\pi .x^2}\left(cm\right)$

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: $T\left(x\right)=2.1,2.\pi .x^2+0,75.\frac{2000}{x}=2,4\pi .x^2+\frac{1500}{x}$ (nghìn đồng)

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

$T^{\prime }\left(x\right)=4,8\pi x-\frac{1500}{x^2},T^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}$ (thỏa mãn)

Bảng biến thiên:

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là $\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}cm$ và chiều cao của bình là: $\frac{1000}{\pi .{\left(\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\right)}^2}\left(cm\right)$