Giải Toán 12 trang 18 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-3x^2+5x+2$ trên đoạn $\left[0;2\right]$;

b) $y=\left(x+1\right)e^{-x}$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$.

Lời giải:

a) Ta có:$y^{\prime }=6x^2-6x+5=6\left(x^2-x+\frac{5}{6}\right)=6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}>0\mathrm{\forall }x\in \left[0;2\right]$

Do đó, hàm số $y=2x^3-3x^2+5x+2$ đồng biến trên $\left[0;2\right]$.

Ta có: $y\left(0\right)=2;y\left(2\right)={2.2}^3-{3.2}^2+5.2+2=16$

Do đó, $\underset{\left[0;2\right]}{max}y=y\left(2\right)=16,\underset{\left[0;2\right]}{min}y=y\left(0\right)=2$

b) Ta có: $y^{\prime }=e^{-x}-\left(x+1\right)e^{-x}=e^{-x}\left(1-x-1\right)=-x.e^{-x}$

$y^{\prime }=0\iff -x.e^{-x}=0\iff x=0$ (thỏa mãn $x\in \left[-1;1\right]$)

$y\left(-1\right)=0;y\left(0\right)=1;y\left(1\right)=\frac{2}{e}$

Do đó, $\underset{\left[-1;1\right]}{max}y=y\left(0\right)=1,\underset{\left[-1;1\right]}{min}y=y\left(-1\right)=0$

Vận dụng trang 18 Toán 12 Tập 1: Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số $N\left(t\right)=-t^3+12t^2,0\le t\le 12,$ trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Lời giải:

a) Với $0\le t\le 12$ ta có:

$N^{\prime }\left(t\right)=-3t^2+24t,N^{\prime }\left(t\right)=0\iff -3t^2+24t=0\iff [\begin{array}{l}t=0\left(tm\right)\\ t=8\left(tm\right)\end{array}$

Ta có:$N\left(0\right)=0,N\left(8\right)=-8^3+{12.8}^2=256,N\left(12\right)=-{12}^3+{12.12}^2=0$

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: $N^{\prime }\left(t\right)=-3t^2+24t$

Đặt $f\left(t\right)=-3t^2+24t$, với $0\le t\le 12$

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=-6t+24,f^{\prime }\left(t\right)=0\iff t=4\left(tm\right)$

$f\left(0\right)=0,f\left(4\right)=-{3.4}^2+24.4=48,f\left(12\right)=-{3.12}^2+24.12=-144$

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi $t=4$ (tuần thứ 4).