Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 5 trang 51 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Lời giải:

Giả sử điểm H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống mặt phẳng đáy.

Xét ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD:

$\Rightarrow$ ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD là các tam giác bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

$\Rightarrow$ BH = CH = DH $\Rightarrow$ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

$\Rightarrow$ H $\equiv$ O$\iff$ AO là đường cao của tứ diện ABCD.

$\Rightarrow$ OA ⊥ CD.

Vậy hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.