Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 trang 73

Bài 8 trang 75 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆ANQ ᔕ ∆ABC.

b) Đường thẳng QN cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng FB . FC = FQ . FN.

c) Trên đoạn HB lầy điểm I sao cho $\widehat{AIC}=90°$. Chứng minh rằng AI² = AN . AC.

d) Trên đoạn HC lấy điểm K sao cho $\widehat{AKB}=90°$. Chứng mình rằng ∆AIK cân.

Lời giải:

a) Xét ∆ANB vuông tại N và ∆AQC vuông tại Q có $\widehat{BAC}$ chung.

Do đó ∆ANB ᔕ ∆AQC (g.g).

Suy ra $\frac{AN}{AQ}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{AN}{AB}=\frac{AQ}{AC}$.

Xét ∆ANQ và ∆ABC có

$\frac{AN}{AB}=\frac{AQ}{AC}$; $\widehat{BAC}$ chung.

Do đó ∆ANQ ᔕ ∆ABC (c.g.c)

b) Xét ∆FQB và ∆FCN có

$\widehat{CFN}$ chung; $\widehat{FQB}=\widehat{FCN}\left(=\widehat{AQN}\right)$.

Do đó ∆FQB ᔕ ∆FCN (g.g).

Suy ra $\frac{FQ}{FC}=\frac{FB}{FN}$. Do đó FB . FC = FQ . FN (g.g).

c) Xét ∆ANI vuông tại N và ∆AIC vuông tại I có $\widehat{IAC}$ chung.

Do đó ∆ANI ᔕ ∆AIC (g.g).

Suy ra $\frac{AN}{AI}=\frac{AI}{AC}$. Do đó AI² = AN . AC (1)

d) Xét ∆AQK vuông tại Q và ∆AKB vuông tại K có $\widehat{BAK}$ chung.

Do đó ∆AQK ᔕ ∆AKB (g.g).

Suy ra $\frac{AQ}{AK}=\frac{AK}{AB}$. Do đó AK² = AQ . AB (2)

Mà $\frac{AN}{AB}=\frac{AQ}{AC}$ nên suy ra AN . AC = AQ . AB (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI = AK.

Vậy nên ∆AIK cân tại A.