Sách bài tập Toán 8 Bài 1 (Chân trời sáng tạo): Định lí Thalès trong tam giác

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 1 trang 41 SBT Toán 8 Tập 2:Trên một đường thẳng, đặt ba đoạn thẳng liên tiếp AB = BC = CD.

Tìm tỉ số $\frac{AB}{BD};\frac{AB}{AD};\frac{AC}{AD}$.

Lời giải:

Đặt AB = BC = CD = a, ta có:

•$\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC+CD}=\frac{a}{a+a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$;

•$\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{AB+BC+CD}=\frac{a}{a+a+a}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}$;

•$\frac{AC}{AD}=\frac{AB+BC}{AB+BC+CD}=\frac{a+a}{a+a+a}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$.

Bài 2 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 10 cm. Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho$\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$. Lấy D thuộc tia đối của tia BA sao cho $\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}$.

Tính độ dài:

a) CB;

b) DB;

c) CD.

Lời giải:

a) Ta có$\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$, suy ra:$\frac{CA}{3}=\frac{CB}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{CA}{3}=\frac{CB}{2}=\frac{CA+CB}{3+2}=\frac{AB}{5}=\frac{10}{5}$= 2.

Nên$\frac{CB}{2}$= 2 => CB = 2.2 = 4 (cm).

b) Ta có$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}$, suy ra$\frac{DA}{3}=\frac{DB}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{DA}{3}=\frac{DB}{2}=\frac{DA-DB}{3-2}=\frac{AB}{1}=\frac{10}{1}$= 10.

Nên$\frac{DB}{2}$= 10 => DB = 10.2 = 20 (cm).

c) Ta có CD = CB + BD = 4 + 20 = 24 (cm).

Bài 3 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Trong Hình 10, cho biết QR // NP và MQ = 10 cm, QN = 5 cm, RP = 6 cm. Tính độ dài MR.

Lời giải:

Xét ∆MNP, có QR // NP, nên theo định lí Thalès, ta có$\frac{MQ}{QN}=\frac{MR}{RP}$.

Suy ra MR =$\frac{MQ.RP}{QN}=\frac{10.6}{5}$= 12 (cm).

Vậy MR = 12 cm.

Bài 4 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Tính các độ dài x, y trong Hình 11.

Lời giải:

a) Ta có CN = AC – AN = 9 – 5 = 4.

Xét ∆ABC, có MN // BC, nên theo định lí Thalès, ta có$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{CN}$.

Suy ra BM =$\frac{AM.CN}{AN}=\frac{3.4}{5}$= 2,4.

Vậy x = 2,4.

b) ) Ta có BC = BN + NC = 5 + 2 = 7.

Vì MN và AC cùng vuông góc với AB nên MN song song với AC.

Xét ∆ABC, có MN // AC, nên theo định lí Thalès, ta có$\frac{BM}{AB}=\frac{BN}{BC}$.

Suy ra AB =$\frac{BM.BC}{BN}=\frac{3.7}{5}$= 4,2.

Bài 5 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến (M ∈ BC). Lấy điểm E thuộc AM sao cho AE = 3EM. Tia BE cắt AC tại N. Tính tỉ số$\frac{AN}{NC}$.

Lời giải:

Lấy điểm F trên tia AM sao cho M là trung điểm của EF.

Tứ giác MEFC có hai hai đường chéo BC và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MEFC là hình bình hành.

Suy ra CF // BE và CF // EN.

Ta có AE = 3EM và ME = MF (vì M là trung điểm của EF).

Khi đó,$\frac{AE}{EF}=\frac{3}{2}$.

Xét ∆ACF có CF // EN nên theo định lí Thalès, ta có:$\frac{AN}{NC}=\frac{AE}{EF}=\frac{3}{2}$.

Vậy$\frac{AN}{NC}=\frac{3}{2}$.

Bài 6 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho$\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}$, điểm E trên đoạn AD sao cho$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số$\frac{AK}{KC}$.

Lời giải:

Kẻ DM // BK (I ∈ AC)

Ta có$\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$, suy ra AE =$\frac{1}{3}$AD.

Mặt khác AE + ED = AD, nên ED =$\frac{2}{3}$AD.

Suy ra$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$.

• Xét ∆ADI có DM // EK (vì DI // BK ) nên theo định lí Thalès, ta có

$\frac{AK}{KM}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$.

• Xét ∆KBC có DM // BK nên theo định lí Thalès, ta có

$\frac{KM}{KC}=\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}$.

Do đó$\frac{AK}{KC}=\frac{AK}{KI}\cdot \frac{KI}{KC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$.

Vậy$\frac{AK}{KC}=\frac{3}{8}$.

Bài 7 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC và điểm M trên cạnh AB sao cho$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{2}$. Kẻ MN // BC (N ∈ AC). Cho biết BC = 6 cm, tính độ dài MN.

Lời giải:

Ta có$\frac{AM}{MB}=\frac{3}{2}$, nên$\frac{AM}{AB}=\frac{AM}{MB+AM}=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$.

Xét ∆ABC có MN // BC, theo hệ quả của định lí Thalès, ta có

$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{3}{5}$.

Mà BC = 6 cm suy ra MN =$\frac{3.6}{5}$= 3,6 (cm).

Vậy MN = 3,6 cm.

Bài 8 trang 42 SBT Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A và MN // BC (M ∈ AB; N ∈ AC). Cho biết AB = 9 cm, AM = 3 cm, AN = 4 cm. Tính độ dài NC, MN, BC.

Lời giải:

Ta có BM = AB – AM = 9 – 3 = 6 (cm)

Xét ∆ABC có MN // BC nên theo định lí Thalès, ta có$\frac{AM}{BM}=\frac{AN}{NC}$.

Suy ra NC =$\frac{AN.BM}{AM}=\frac{4.6}{3}$= 8 (cm)

Xét ∆AMN vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

MN²= AM²+ AN²= 3²+ 4²= 25.

Do đó MN = 5 cm.

Xét ∆ABC có MN // BC, theo hệ quả của định lí Thalès, ta có$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}$.

Suy ra BC =$\frac{MN.AB}{AM}=\frac{5.9}{3}$= 15 (cm).

Vậy NC = 8 cm, MN = 5 cm, BC = 15 cm.