Sách bài tập Toán 8 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Tứ giác

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Tứ giác

Bài 1 trang 56 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm tứ giác lồi trong các hình sau:

Lời giải:

a) Tứ giác ABCD luôn nằm trong cùng một phần mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác nên ABCD là tứ giác lồi.

b) Đường thẳng đi qua cạnh của tứ giác MNPQ chia tứ giác thành hai phần nên MNPQ không phải là tứ giác lồi.

Bài 2 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm số đo x trong các tứ giác sau:

Lời giải:

Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên ta có:

a) x + 47° + 86° + 128° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (47° + 86° + 128°) = 99°.

b) x + 90° + 90° + 67° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (90° + 90° + 67°) = 113°.

c) x + 34° + 146° + 34° = 360°

Suy ra x = 360° ‒ (34° + 146° + 34°) = 146°.

Bài 3 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD như Hình 12.

a) Tính độ dài hai đường chéo và cạnh còn lại của tứ giác ABCD.

b) Cho biết góc B bằng 53°. Tìm số đo góc C.

Lời giải:

a) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABD vuông tại A có:

BD² = AD² + AB² = 4² + 10² = 116

Suy ra $BD=\sqrt{116}$.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC² = 4² + 7² = 65

Suy ra $AC=\sqrt{65}$.

Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB), mà AD ⊥ AB nên CH // AD

Ta cũng có DC ⊥AD và AB ⊥ AD nên DC // AB

Suy ra $\widehat{DCA}=\widehat{HAC},\widehat{DAC}=\widehat{HCA}$ (các cặp góc so le trong)

Xét ∆ADC và ∆CHA có:

$\widehat{DCA}=\widehat{HAC}$ cạnh AC chung, $\widehat{DAC}=\widehat{HCA}$

Do đó ∆ADC = ∆CHA (g.c.g)

Suy ra: CD = AH, AD = CH

Mà CD = 7, AD = 4 nên AH = 7, CH = 4

Ta có: BH = AB ‒ AH = 10 ‒ 7 =3.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác CBH vuông tại H có:

BC² = CH² + BH² = 3² + 4² = 25

Suy ra $BC=\sqrt{25}=5$.

b) Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên trong tứ giác ABCD có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

Suy ra $\hat{C}=360°-\hat{A}-\hat{B}-\hat{D}$$=360°-90°-53°-90°=127°$.

Bài 4 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Bạn Hùng muốn làm một cái diều có dạng hình tứ giác KITE như Hình 13. Cho biết $\widehat{KIT}=90°,\widehat{KET}=70°$, IK = IT, EK = ET. Tìm số đo các góc còn lại của tứ giác KITE.

Lời giải:

Xét ∆KIE và ∆TIE có:

IK = IT, EK = ET, cạnh IE chung

Do đó ∆KIE = ∆TIE (c.c.c), suy ra $\widehat{IKE}=\widehat{ITE}$ (hai góc tương ứng)

Vì tổng số đo các góc của một tứ giác bằng 360° nên trong tứ giác KITE ta có:

$\widehat{IKE}+\widehat{KIT}+\widehat{ITE}+\widehat{KET}=360°$, mà $\widehat{IKE}=\widehat{ITE}$ (chứng minh trên)

Suy ra $2\widehat{IKE}+\widehat{KIT}+\widehat{KET}=360°$

Do đó $\widehat{IKE}=\widehat{ITE}=\frac{360°-\widehat{KIT}-\widehat{KET}}{2}=\frac{360°-90°-70°}{2}=100°$.

Bài 5 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có $\hat{C}-\hat{D}=10°$. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Biết $\widehat{AIB}=65°$. Tính số đo góc C và góc D.

Lời giải:

Xét ∆AIB, ta có: $\widehat{AIB}+\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180°$

Mà $\widehat{AIB}=65°$ suy ra $\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=180°-65°=115°$.

Do AI, BI lần lượt là tia phân giác của $\widehat{DAB},\widehat{ABC}$ nên ta có:

$\widehat{DAB}=2\widehat{IAB},\widehat{ABC}=2\widehat{IBA}$

Do đó $\hat{A}+\hat{B}=\widehat{DAB}+\widehat{ABC}=2.\left(\widehat{IAB}+\widehat{IBA}\right)$$=2.115°=230°$.

Xét tứ giác $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

Suy ra $\hat{C}+\hat{D}=360°-\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=360°-230°=130°$.

Mặt khác $\hat{C}-\hat{D}=10°$nên $\hat{C}=10°+\hat{D}$

Thay $\hat{C}=10°+\hat{D}$ vào $\hat{C}+\hat{D}=130°$ ta có:

$10°+\hat{D}+\hat{D}=130°$

Suy ra, $\hat{D}=\frac{130°-10°}{2}=60°$.

Do đó $\hat{C}=60°+10°=70°$.

Bài 6 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, $\hat{C}=65°,\hat{A}=115°$.

a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.

b) Tính số đo góc B và góc D.

Lời giải:

a) Ta có:

AB = AD (giả thiết), suy ra A thuộc đường trung trực của BD;

CB = CD (giả thiết), suy ra C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b) Xét ∆ABC và∆ADC, ta có:

AB = AD (giả thiết); BC = DC (giả thiết); AC là cạnh chung.

Suy ra ∆ABC= ∆ADC (c.c.c).

Do đó $\hat{B}=\hat{D}$ (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác ABCD, ta có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$.

Hay $115°+\hat{B}+65°+\hat{D}=360°$

Do đó $\hat{B}+\hat{D}=360°-115°-65°=180°$.

Mà $\hat{B}=\hat{D}$ (chứng minh trên) nên $\hat{B}=\hat{D}=\frac{180°}{2}=90°$.

Bài 7 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1

Lời giải:

Áp dụng định lí Pythagore vào bốn tam giác AIB, BIC, CID, DIA vuông tại I, ta có:

AB² = IA² + IB²

BC² = IB² + IC²

CD² = IC² + ID²

AD² = IA² + ID²

Nên AB² + CD² = IA² + IB² + IC² + ID²

Hay AB² + CD² = (IB² + IC²) + (IA² + ID²)

AB² + CD² = BC² + AD²

AB² + 24² = 15² + 20²

AB² = 225 + 400 – 576 = 49

Suy ra $AB=\sqrt{49}=7$ (cm).

Bài 8 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.

Lời giải:

Vẽ tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

IA + IB > AB (trong tam giác IAB)

IB + IC > BC (trong tam giác IBC)

IC + ID > CD (trong tam giác ICD)

IA + ID > AD (trong tam giác IAD)

Suy ra2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA

Vậy $AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$ hay tổng độ dài hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.