Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Tứ giác

Bài 8 trang 57 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.

Lời giải:

Vẽ tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

IA + IB > AB (trong tam giác IAB)

IB + IC > BC (trong tam giác IBC)

IC + ID > CD (trong tam giác ICD)

IA + ID > AD (trong tam giác IAD)

Suy ra2(IA + IB + IC + ID) > AB + BC + CD + DA

Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA

Vậy $AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$ hay tổng độ dài hai đường chéo của một tứ giác lớn hơn nửa chu vi của tứ giác đó.