Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của góc ABC

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 7 trang 48

Bài 15 trang 51 SBT Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tia phân giác của$\widehat{ABC}$cắt AC tại D.

a) Tính độ dài DA, DC;

b) Tia phân giác của$\widehat{ACB}$cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh$\widehat{BIM}$= 90°.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC²= AB²+ AC²= 6²+ 8²=100 , suy ra BC = 10 (cm).

Vì BD là đường phân giác của$\widehat{ABC}$trong ∆ABC nên

$\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,

Suy ra$\frac{DA}{3}=\frac{DC}{5}=\frac{DA+DC}{3+5}=\frac{AC}{8}=\frac{8}{8}$= 1.

Do đó DA = 3.1 = 3 (cm) và DC = 5.1 = 5 (cm).

Vậy DA = 3 cm và DC = 5 cm.

b) Xét ∆ABD vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BD²= AB²+ AD²= 6²+ 3²= 45 , suy ra BD =$3\sqrt{5}$(cm).

Ta có CI là đường phân giác của$\widehat{DCB}$trong ∆CBD nên

$\frac{ID}{IB}=\frac{CD}{CB}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$hay $\frac{ID}{1}=\frac{IB}{2}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{ID}{1}=\frac{IB}{2}=\frac{ID+IB}{1+2}=\frac{BD}{3}=\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}$.

Suy ra ID =$\sqrt{5}$(cm) và IB = 2$\sqrt{5}$(cm).

Ta có: MB = MC =$\frac{1}{2}$BC = 5 (cm)

Xét ∆IDC và ∆IMC có

IC chung

$\widehat{DCI}=\widehat{MCI}$

DC = MC

Do đó ∆IDC = ∆IMC (c.g.c).

Suy ra ID = IM =$\sqrt{5}$(cm)

Ta có IM²+ IB²=${\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(2\sqrt{5}\right)}^2$= 25 và MB²= 5²= 25.

Do đó IM²+ IB²= MB².

Áp dụng định lý Pythagore đảo trong ∆IBM, suy ra ∆IBM vuông tại I.

Suy ra$\widehat{BIM}$= 90°.