Cho hình vuông ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình 6)

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 7 trang 48

Bài 7 trang 49 SBT Toán 8 Tập 2:Cho hình vuông ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA (Hình 6). Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. S_MNPQ=$\frac{1}{4}$S_ABCD;

B. S_MNPQ=$\frac{1}{3}$S_ABCD;

C. S_MNPQ= S_ABCD;

D. S_MNPQ=$\frac{1}{2}$S_ABCD.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên

AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

Suy ra AM²+ QA²= MB²+ BN²= NC²+ CP²= PD²+ DQ²,

Khi đó MQ²= MN²= NP²= PQ²hay MQ = MN = NP = PQ,

Do đó tứ giác MNPQ là hình thoi (1)

• Vì AM = AQ nên ∆AMQ vuông cân tại A, suy ra$\widehat{AMQ}$= 45°.

• Vì BM = BN nên ∆BMN vuông cân tại B, suy ra$\widehat{BMN}$= 45°.

Mà$\widehat{AMQ}$+$\widehat{QMN}$+$\widehat{BMN}$= 180°, suy ra$\widehat{QMN}$= 90° (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình vuông.

S_ABCD= AB²; S_MNPQ= MQ²

MQ²= AM²+ QA²= ${\left(\frac{1}{2}AB\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}AD\right)}^2$

=$\frac{1}{4}$AB²+$\frac{1}{4}$AD²=$\frac{1}{4}$AB²+$\frac{1}{4}$AB²=$\frac{1}{2}$AB².

Do đó S_MNPQ=$\frac{1}{2}$S_ABCD.