Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

+) Tính $\left.\overrightarrow{p}\right|$:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\left.\overrightarrow{p}\right|=\left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}\right|=\left.\overrightarrow{AC}\right|$.

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD nên AC là tia phân giác của $\widehat{BA\text{D}}$.

Do đó $\widehat{BAC}=30°$.

Tam giác ABC cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=30°$.

Khi đó $\widehat{ABC}=180°-2.30°=120°$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cos $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$AC² = a² + a² - 2.a.a.cos 120^o

$\Rightarrow$AC² = 2a² + a²

$\Rightarrow$AC² = 3a²

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{3}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do đó $\left.\overrightarrow{p}\right|=\sqrt{3}a$.

+) Tính $\left.\overrightarrow{u}\right|$:

Ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{DB}$.

Do đó $\left.\overrightarrow{u}\right|=\left.\overrightarrow{DB}\right|$.

Tam giác ABD cân tại A có $\widehat{BA\text{D}}=60°$nên tam giác ABD đều.

Do đó BD = AB = a.

Do đó $\left.\overrightarrow{u}\right|=\left.\overrightarrow{DB}\right|$= a.

+) Tính $\left.\overrightarrow{v}\right|$:

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AH}$.

Do đó $2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AH}=2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right)=2\overrightarrow{HB}$.

Khi đó $\left.2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left.2\overrightarrow{HB}\right|=\left.\overrightarrow{DB}\right|=a$.

Do đó $\left.\overrightarrow{v}\right|=a$.