Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$; $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{NC}$.

b) Tìm các vectơ hiệu: $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC};\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$.

c) Chứng minh $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. 

Lời giải:

M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC.

N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{1}{2}$AD.

Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD.

Do đó BM = MC = AN = ND.

Do $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$nên CE = AN.

Do đó BM = MC = AN = ND = CE.

Khi đó ta có AMCN, NCED là các hình bình hành.

a) +) Tính $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}$:

Ta có $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CE}$nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{NE}$.

+) Tính $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}$:

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$nên $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{N\text{D}}$.

+) Tính $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}$:

Ta có $\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AM}$nên $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{A\text{E}}$.

b) +) Tính $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}$:

Ta có $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NM}$.

+) Tính $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$:

Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$.

+) Tính $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$:

Ta có $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{A\text{D}}$nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

c) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\text{D}}$.