Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$.

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

$\Rightarrow$AC² = a² + (3a)²

$\Rightarrow$AC² = 10a²

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{10}$a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD = $\sqrt{10}$a.

Vậy $\left.\overrightarrow{AC}\right|=\left.\overrightarrow{B\text{D}}\right|=10\sqrt{a}$.

b) Ta thấy $\frac{a\sqrt{10}}{2}$= $\frac{1}{2}.10\sqrt{a}$.

Do đó độ dài các vectơ đó bằng $\frac{1}{2}$độ dài của AC và BD.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$là: $\overrightarrow{OB}$và $\overrightarrow{OD}$; $\overrightarrow{OA}$và $\overrightarrow{OC}$; $\overrightarrow{BO}$và $\overrightarrow{DO}$; $\overrightarrow{AO}$và $\overrightarrow{CO}$.