Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left.\overrightarrow{a}\right|+\left.\overrightarrow{b}\right|$ ;

b) $\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

a) $\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left.\overrightarrow{a}\right|+\left.\overrightarrow{b}\right|$thì ${\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left(\left.\overrightarrow{a}\right|+\left.\overrightarrow{b}\right|\right)}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|$

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng.

b) $\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\left.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|$thì ${\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2={\left.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|}^2$.

$\Rightarrow {\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow 4\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$

Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$nên $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0$.

Do đó $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90°$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$vuông góc với nhau.