50 Bài tập Nhị thức Niu - Tơn Toán 11 mới nhất

Suy ra khai triển (x³ + xy)²¹ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k = 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k = 11). Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là

Chọn đáp án D

Bài 5:

a) (a + 2b)⁵                  

b) (a - $\sqrt{2}$)⁶                  

c) (x - $\frac{1}{x}$)¹³

Lời giải:

a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵ = a⁵ + 5a⁴(2b) + 10a³(2b)² + 10a²(2b)³ + 5a(2b)⁴ + (2b)⁵= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a - $\sqrt{2}$)⁶ = [a + (-$\sqrt{2}$)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-$\sqrt{2}$) + 15a⁴ (-$\sqrt{2}$)² + 20a³ (-$\sqrt{2}$)³ + 15a² (-$\sqrt{2}$)⁴ + 6a(-$\sqrt{2}$)⁵ + (-$\sqrt{2}$)⁶ = a⁶ - 6$\sqrt{2}$a⁵ + 30a⁴ - 40$\sqrt{2}$a³ + 60a² - 24$\sqrt{2}$a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

Bài 6 Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:

Lời giải:

Trong tổng này, số hạng Ck⁶ . 2k . x⁶ - 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là:  = 2 . 6 = 12

Lời giải:

Các biểu thức (1 + x), (1 + x)², ⋯, (1 + x)⁴ không chứa số hạng chứa x⁵.

Bài 8 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

Lời giải:

Bài 9 Tính

Lời giải:

Bài 10 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Biết hệ số của x²  trong khai triển của (1 - 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Bài 2 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x³ + )⁸

Bài 3

Bài 4 Chứng minh rằng:

b) 101¹⁰⁰– 1 chia hết cho 10 000;

c) $\sqrt{10}[(1+\sqrt{10})100–(1-\sqrt{10})100]$ là một số nguyên

Bài 5 Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - Tơn:

a) (a + 2b)⁵                                   

b) (a - $\sqrt{2}$)⁶                                   

c) (x - $\frac{1}{x}$)¹³

Bài 6 Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức:

Bài 7 Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 - 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Bài 8 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x³ + $\frac{1}{x}$)⁸

Bài 9 Từ khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được?

Bài 10 Chứng minh rằng:

a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;

b) 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000;

c)  là một số nguyên.