50 Bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp Toán 11 mới nhất

Phương trình 3sinx + mcosx= 5 vô nghiệm khi:

3²+ m² < 52 ↔ m² < 16 ↔ -4 < m < 4

Chọn đáp án D

Ta có:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm.

Do đó: 4m² + 49 ≥ 1 ⇔ 4m² + 48 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn đáp án D

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

- Nếu cosx = 0 phương trình trở thành 3sin²x = 0 ⇒ sinx = 0(vô lí) vì khi cosx = 0 thì sin²x = 1 nên sinx = ±1.

- Nếu cosx ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos²x, ta được:

3tan²x - 2$\sqrt{3}$tanx – 3 = 0

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có giải

Bài 6 Giải các phương trình sau:

Lời giải:

b) sin3x = 1 ⇔ 3x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π

⇔ x = $\frac{\pi }{6}$ + k($\frac{2\pi }{3}$), (k ∈ Z).

(k ∈ Z).

d) Vì $\frac{-\sqrt{3}}{2}$ = sin(-60⁰) nên phương trình đã cho tương đương với sin (2x + 20⁰) = sin(-60⁰)⇔

Bài 7: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

Lời giải:

x thỏa mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) cos(x – 1) = $\frac{2}{3}$

b) cos3x = cos12⁰

c) cos($\frac{3x}{2}$ – $\frac{\pi }{4}$) = -$\frac{1}{2}$

d) cos²2x = $\frac{1}{4}$

Lời giải:

a) cos(x - 1) = $\frac{2}{3}$ ⇔ x - 1 = ±arccos$\frac{2}{3}$ + k2π

⇔ x = 1 ± arccos$\frac{2}{3}$ + k2π, (k ∈Z)

b) cos3x = cos12⁰ ⇔ 3x = ±12⁰ + k360⁰ ⇔ x = ±4⁰ + k120⁰, (k ∈ Z).

c) Vì -$\frac{1}{2}$ = cos$\frac{2\pi }{3}$ nên cos$\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}$ = -$\frac{1}{2}$

⇔ cos($\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}$) = cos$\frac{2}{3}$

⇔ $\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}$ = ±$\frac{2\pi }{3}$ + k2π

⇔ x = $\frac{2}{3}$($\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}$) + $\frac{4k\pi }{3}$

d) Sử dụng công thức hạ bậc  (suy ra trực tiếp từ công thức nhan đôi) ta có

cos²2x = $\frac{1}{4}$ ⇔ 1 + cos$\frac{4x}{2}$ = $\frac{1}{4}$ ⇔ cos4x = -$\frac{1}{2}$

⇔ 4x = ±$\frac{2\pi }{3}$ + 2kπ ⇔ x = ±$\frac{\pi }{6}$ + $\frac{k\pi }{2}$, (k ∈ Z)

Bài 9 Giải phương trình 

Lời giải:

⇔ sin2x = -1 ⇔ 2x = -$\frac{\pi }{2}$ + k2π ⇔ x = -$\frac{\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ Z).

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ b) cot(3x – 1) = -$\sqrt{3}$

c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Lời giải:

a) Vì = tan30⁰ nên tan(x – 15⁰) =  

⇔ tan(x – 15⁰) = tan30⁰ 

⇔ x – 150 = 30⁰ + k180⁰ 

⇔ x = 45⁰ + k180⁰, (k ∈ Z).

b) Vì -$\sqrt{3}$ = cot(-$\frac{\pi }{6}$) nên cot(3x – 1) = -$\sqrt{3}$

⇔ cot(3x – 1) = cot(-$\frac{\pi }{6}$)

⇔ 3x – 1 = -$\frac{\pi }{6}$ + kπ

⇔ x = -$\frac{\pi }{18}$ + $\frac{1}{3}$ + k($\frac{\pi }{3}$), (k ∈ Z)

c) Đặt t = tan x thì cos2x =  , phương trình đã cho trở thành. t = 0

⇔ t ∈ {0; 1; -1} .

Vì vậy phương trình đã cho tương đương với

d) sin3x . cotx = 0

⇔ Với điều kiện sinx # 0, phương trình tương đương với

sin3x . cosx = 0 ⇔ sin3x = 0; cos3x = 0

Với cosx = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ Z thì sin2x = 1 – cos2x = 1 – 0 = 1 => sinx # 0, điều kiện được thỏa mãn.

Với sin3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = k($\frac{\pi }{3}$), (k ∈ Z). Ta còn phải tìm các k nguyên để x = k($\frac{\pi }{3}$) vi phạm điều kiện (để loại bỏ), tức là phải tìm k nguyên sao cho sink($\frac{\pi }{3}$) = 0, giải phương trình này (với ẩn k nguyên), ta có sink($\frac{\pi }{3}$) = 0 ⇔ k($\frac{\pi }{3}$)= lπ, (l ∈ Z) ⇔ k = 3l ⇔ k : 3.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, (k ∈Z) và x = k($\frac{\pi }{3}$) (với k nguyên không chia hết cho 3).

Nhận xét: Các em hãy suy nghĩ và giải thích tại sao trong các phần a, b, c không phải đặt điều kiện có nghĩa và cũng không phải tìm nghiệm ngoại lai.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) $\tan (x-{15}^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) $\cot (3x-1)=-\sqrt{3}$.

c) $\cos 2x.tanx=0$.

d) $\sin 3x.\cot x=0$.

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) $\cos (x-1)=\frac{2}{3}$.

b) $\cos 3x=\cos {12}^0$.

c). $\cos (\frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=-\frac{1}{2}$.

d) ${\cos }^{2}2x=\frac{1}{4}$.

Bài 4 Giải các phương trình sau

a) $\sin (x+2)=\frac{1}{3}$.

b) $\sin 3x=1$.

c) $\sin (\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

d) $\sin (2x+{20}^0)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 5 Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau?

Bài 6 Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 5x=0$.

b) $\tan 3x.\tan x=1$.

Bài 7 Giải phương trình $\sin \left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)=0$

Bài 8 Giải phương trình 

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) tan(x – 150) = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ b) cot(3x – 1) = -√3c) cos2x . tanx = 0 d) sin3x . cotx = 0

Bài 10 Với những giá trị nào của x thì gia trị của các hàm số y = tan($\frac{\pi }{4}$ - x) và y = tan2x bằng nhau?