50 Bài tập Một số phương trình lượng giác cơ bản Toán 11 mới nhất

Phương trình 3sinx + mcosx= 5 vô nghiệm khi:

3²+ m² < 52 ↔ m² < 16 ↔ -4 < m < 4

Chọn đáp án D

Ta có:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm.

Do đó: 4m² + 49 ≥ 1 ⇔ 4m² + 48 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn đáp án D

Chọn đáp án B

Chọn đáp án C

Chọn đáp án A

Ta có:

Các nghiệm của phương trình thuộc đoạn [0; 4π] là: π; 3π

Chọn đáp án B

Chọn đáp án A

Chọn đáp án A

Chọn đáp án C

- Nếu cosx = 0 phương trình trở thành 3sin²x = 0 ⇒ sinx = 0(vô lí) vì khi cosx = 0 thì sin²x = 1 nên sinx = ±1.

- Nếu cosx ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

3tan²x - 2$\sqrt{3}$tanx – 3 = 0

Chọn đáp án A

II. Bài tập trắc nghiệm

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

(2 – a)² + (1 +2a)² ≥ (3a – 1)²

⇔ 4 - 4a + a² + 1 + 4a + 4a² ≥ 9a² - 6a + 1

⇔ 4a² – 6a – 4 ≤ 0 ⇔ $\frac{-1}{2}$ ≤ a ≤ 2.

Chú ý. Với bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của a để phương trình:

(2 – a)sinx + (1+ 2a)cosx = 3a – 1

Có nghiệm, ta cũng thực hiện lời giải tương tự như trên.

Bài 6:

a) sin3x – cos5x = 0 b) tan3x . tanx = 1.

Lời giải:

a) sin3x – cos5x = 0 ⇔ cos5x = sin3x ⇔ cos5x = cos($\frac{\pi }{2}$ – 3x) ⇔

b) tan3x . tanx = 1 ⇔  Điều kiện: cos3x . cosx # 0.

Với điều kiện này phương trình tương đương với cos3x . cosx = sin3x . sinx ⇔ cos3x . cosx – sin3x . sinx = 0 ⇔ cos4x = 0.Do đó

Bài 7: sin²x - sinx = 0

Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích và giải các phương trình lượng giác cơ bản:

Lời giải:

Vậy nghiệm của phương trình là  hoặc 

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0;

b) 2sin2x + $\sqrt{2}$sin4x = 0.

Lời giải:

a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1; 1] ta được phương trình 2t² – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1; $\frac{1}{2}$}.

Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = $\frac{1}{2}$ ⇔ x = ±$\frac{\pi }{3}$ + k2π.

Đáp số: x = k2π; x = ±$\frac{\pi }{3}$ + k2π, k ∈ Z.

b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với:

Vậy nghiệm của phương trình là  hoặc 

Bài 9 Giải các phương trình sau:

a) sin²($\frac{x}{2}$) – 2cos($\frac{x}{2}$) + 2 = 0; b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan²x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Lời giải:

Đặt  thì phương trình trở thành

Vậy nghiệm của phương trình là: 

Đặt t = sinx, t ∈ [-1; 1] thì phương trình trở thành

c) ĐK: 

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

d) ĐK: 

Đặt t = tanx thì phương trình trở thành

Bài 10 Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0

b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2

c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = $\frac{1}{2}$

d) 2cos²x – $3\sqrt{3}$sin2x – 4sin²x = -4

Lời giải:

Khi , khi đó ta có 2.1 + 0 - 0 = 0 (vô nghiệm)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình là:

Khi , khi đó ta có 3.1 - 0 + 0 = 2 (vô nghiệm)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình là 

Khi , khi đó ta có 2 + 0 - 0 = 1 (vô nghiệm)

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Đặt t = tan x, khi đó phương trình trở thành:

Vậy nghiệm của phương trình là :

Khi , khi đó ta có  là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Vậy nghiệm của phương trình là 

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) cosx – $\sqrt{3}$sinx = $\sqrt{2}$

b) 3sin3x – 4cos3x = 5

c) 2sin2x + 2cos2x – $\sqrt{2}$ = 0

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan(x + $\frac{\pi }{4}$) = 1

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 2cos²x – 3cosx + 1 = 0;

b) 2sin2x + $\sqrt{2}$sin4x = 0.

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) sin²($\frac{x}{2}$) – 2cos($\frac{x}{2}$) + 2 = 0; b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan²x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 2sin²x + sinxcosx – 3cos²x = 0

b) 3sin²x – 4sinxcosx + 5cos²x = 2

c) 3sin²x – sin2x + 2cos²x = $\frac{1}{2}$

d) 2cos²x – $3\sqrt{3}$sin2x – 4sin²x = -4

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a) cosx – $\sqrt{3}$sinx = $\sqrt{2}$

b) 3sin3x – 4cos3x = 5

c) 2sin2x + 2cos2x – $\sqrt{2}$ = 0

d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0

Bài 7

a. tan(2x + 1) tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan(x + $\frac{\pi }{4}$) = 1

Bài 8 Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Bài 9 Giải các phương trình sau:

$a)tan(2x+1).tan(3x-1)=1$

$b)tanx+tan(x+\frac{\pi }{4})=1$

Bài 10 Giải các phương trình sau:

$a)cosx-\sqrt{3}sinx=\sqrt{2};$                               

$b)3sin3x-4cos3x=5;$

$c)2sin2x+2cos2x-\sqrt{2}=0;$                           

$d)5cos2x+12sin2x-13=0.$

Bài 11 Giải các phương trình sau:

$a)2si{n}^{2}x+sinxcosx-3co{s}^{2}x=0$

$b)3si{n}^{2}x-4sinxcosx+5co{s}^{2}x=2$

$c)si{n}^{2}x-sin2x+2co{s}^{2}x=\frac{1}{2}$

$d)2co{s}^{2}x-3\sqrt{3}sin2x-4si{n}^{2}x=-4.$