Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 tập 1:

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải

a) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5) ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$và $\overrightarrow{CD}=\left(7;7\right)$.

b) Xét hai vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$và $\overrightarrow{CD}=\left(7;7\right)$:

Ta có: $\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng phương.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng phương.

c) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và E(a; 1) ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-4\right)$và $\overrightarrow{BE}=\left(a-3;-3\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{BE}$cùng phương khi và chỉ khi $\frac{a-3}{-2}=\frac{-3}{-4}$

$\iff$ (‒ 4).(a – 3) = (‒3). (‒2)

$\iff$ ‒ 4a + 12 = 6

$\iff$ 4a = 6

$\iff a=\frac{3}{2}.$

Vậy $a=\frac{3}{2}$thì hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với $a=\frac{3}{2}\Rightarrow E\left(\frac{3}{2};1\right)$

Với A(1; 2) và $E\left(\frac{3}{2};1\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{2};-1\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$và $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-4\right)$

Tồn tại hai số thực m và n thỏa mãn: $\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$

$\iff \begin{array}{l}\frac{1}{2}=m.2+n.\left(-2\right)\\ -1=m.2+n.\left(-4\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}2m-2n=\frac{1}{2}\\ 2m-4n=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}m=1\\ n=\frac{3}{4}\end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.