Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 tập 1:

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=45°.$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

Lời giải

ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a;

Và $BD=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Lấy điểm M và N sao cho ABDM, ABNC là các hình bình hành.

+) Vì ABDM là hình bình hành nên $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right)=\widehat{BAM}=90°+45°=135°.$ 

Do đó A sai.

+) Vì ABNC là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BN}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BN},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBN}=45°$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=AC.BC.cos\widehat{CBF}=a\sqrt{2}.a.c{\text{os45}}^0=a^2.$

Do đó B đúng.

+) Ta có $AC\perp BD\Rightarrow \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Do đó C sai.

+) Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=BA.BD.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}\right)=BA.BD.\cos \widehat{ABD}=a.a\sqrt{2}.c{\text{os45}}^0=a^2.$ 

Do đó D sai.