Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình thang, AB // CD (AB < CD); M là trung điểm của DC

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 6 trang 60 SBT Toán 8 Tập 2: Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình thang, AB // CD (AB < CD); M là trung điểm của DC; AM cắt BD ở I; BM cắt AC ở K; IK cắt AD, BC lần lượt ở E, F. Chứng minh:

a) IK // AB;

b) EI = IK = KF.

* Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của CD nên DM = MC.

Do AB // CD, M ∈ CD nên AB // DM, AB // CM.

Xét ∆IDM với AB // DM, ta có: $\frac{IA}{IM}=\frac{AB}{DM}=\frac{AB}{MC}$ (do DM = MC) (1)

Xét ∆MKC với AB // CM, ta có: $\frac{KB}{KM}=\frac{AB}{MC}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{IA}{IM}=\frac{KB}{KM}$

Xét ∆ABM có $\frac{IA}{IM}=\frac{KB}{KM}$ nên IB // AB (định lí Thalès đảo).

b) Áp dụng định lí Thalès cho ∆ADM với EI // DM, ta có $\frac{EI}{DM}=\frac{AI}{AM}$ (3)

Áp dụng định lí Thales cho ∆AMB với IK // AB, ta có $\frac{AI}{AM}=\frac{BK}{BM}$

Áp dụng định lí Thales cho ∆BMC với KF // MC, ta có $\frac{BK}{BM}=\frac{KF}{MC}$

Do đó, ta có: $\frac{EI}{DM}=\frac{AI}{AM}=\frac{BK}{BM}=\frac{KF}{MC}$.

Suy ra EI = KF (do DM = MC). (*)

Mặt khác, áp dụng định lí Thalès cho ∆AMC với IK // MC, ta có: $\frac{IK}{MC}=\frac{AI}{AM}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{IK}{MC}=\frac{EI}{DM}$ hay IK = EI (do MC = DM). (**)

Từ (*) và (**) suy ra EI = IK = KF

*Phương pháp giải:

Nắm vững lý thuyết và cách dùng định lý Thales trong tam giác để làm bài

* Một số lý thuyết và dạng bài thêm về Định lý Thales trong tam giác:

1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và PQ nếu có tỉ lệ thức: ABCD=MNPQ$\frac{AB}{CD}=\frac{MN}{PQ}$

2. Định lí Thalès

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

ΔABC,MN//BC(M∈AB,N∈AC)⇒AMAB=ANAC;AMMB=ANNC;BMAB=NCAC$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC(M\in AB,N\in AC)\\ \Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC};\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC};\frac{BM}{AB}=\frac{NC}{AC}\end{array}$3. Định lí Thalès đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

ΔABC,M∈AB,N∈AC,AMMB=ANNC⇒MN//BC$\mathrm{\Delta }ABC,M\in AB,N\in AC,\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow MN//BC$

4. Hệ quả của định lí Thalès

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

ΔABC,MN//BC(M∈AB,N∈AC)⇒AMAB=ANAC=MNBC$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,MN//BC(M\in AB,N\in AC)\\ \Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\end{array}$

Chú ý. Hệ quả vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.