Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B

Giải SBT Toán 8 Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Bài 5 trang 60 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác BAD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và DC, K là giao điểm của AC và BF (Hình 9). Chứng minh:

a) AH = AK;

b) AH² = AK² = HB.KC.

Lời giải:

a) Đặt AB = c, AC = b.

Xét ∆BDH với BD // AC (cùng vuông góc với AB), ta có:

$\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Mà BD = AB (do ∆ABD vuông cân tại B) nên $\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$

Suy ra $\frac{AH}{AH+HB}=\frac{b}{b+c}$ hay $\frac{AH}{AB}=\frac{b}{b+c}$.

Do đó $AH=\frac{bc}{b+c}$ (1)

Tương tự, ∆ABK với AB // CF (cùng vuông góc với AC) và CF = AC (do ∆ACF vuông cân tại C), theo hệ quả của định lí Thalès ta có: $\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$

Suy ra $\frac{AK}{KC+AK}=\frac{c}{b+c}$

Hay $\frac{AK}{AC}=\frac{c}{b+c}.$

Do đó $AK=\frac{bc}{b+c}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK.

b) Từ $\frac{AH}{HB}=\frac{AC}{BD}=\frac{b}{c}$ và $\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{CF}=\frac{c}{b}$ (câu a), ta có $\frac{AH}{HB}=\frac{KC}{AK}$

Mà AK = AH nên $\frac{AH}{HB}=\frac{KC}{AH}$

Do đó, AH² = AK² = HB.KC.