Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Giải Toán 8 trang 66 Tập 2

Khởi động trang 66 Toán 8 Tập 2:Hình 37minh hoạ một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức$\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CN}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}}.$

Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CN}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}}?$

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Do ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD hay góc MAN.

Xét ∆AMN có AC là đường phân giác của góc MAN nên $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CN}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}}$ (tính chất đường phân giác).

Hoạt động 1 trang 66 Toán 8 Tập 2:TrongHình 38, tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC. Giả sử mỗi ô vuông của lưới ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC.

c) So sánh các tỉ số $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}},\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.$

Lời giải:

a) Do mỗi ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm nên:

⦁ Đoạn thẳng DB có độ dài bằng độ dài cạnh của 2 ô vuông nên DB dài 2 cm.

⦁ Đoạn thẳng DC có độ dài bằng độ dài cạnh của 3 ô vuông nên DC dài 3 cm.

b) Ta thấy:

⦁ AB là bán kính đường tròn tâm B. Mà bán kính đường tròn tâm B có độ dài 4 ô vuông, tương ứng với 4 cm nên AB dài 4 cm.

⦁ AC là bán kính đường tròn tâm C. Mà bán kính đường tròn tâm C có độ dài 6 ô vuông, tương ứng với 6 cm nên AC dài 6 cm.

c) Ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{2}{3};\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Vậy $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.$

Giải Toán 8 trang 67 Tập 2

Luyện tập 1 trang 67 Toán 8 Tập 2:Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là đường phân giác của góc BAD hay góc MAN.

Xét ∆AMN có AC là đường phân giác của góc MAN nên $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{CN}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AN}}$ (tính chất đường phân giác).

Luyện tập 2 trang 67 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là đường phân giác. Chứng minh DB < DC.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác nên$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (tính chất đường phân giác).

Mà AB < AC, suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}<1.$

Do đó $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}<1$ nên DB < DC.

Giải Toán 8 trang 68 Tập 2

Luyện tập 3 trang 68 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CE. Chứng minh $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=1.$

Lời giải:

Xét tam giác ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF, ta có:

$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}};\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}};\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$ (tính chất đường phân giác)

Do đó $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}}{\mathrm{CA}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}}=1.$

Vậy $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=1.$

Luyện tập 4 trang 68 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}.$Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD tại K.

Vì BK // AC nên theo hệ quả của định lí Thalès, ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{AC}}$

Mà $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (giả thiết) nên $\frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}},$ do đó BK = AB.

Khi đó tam giác ABK cân tại B nên $\widehat{\mathrm{BAK}}=\widehat{\mathrm{BKA}}$

Mà BK // AC nên $\widehat{\mathrm{BKA}}=\widehat{\mathrm{KAC}}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BAK}}=\widehat{\mathrm{KAC}}$

Vậy AD là đường phân giác trong tam giác BAC.

Bài tập

Giải Toán 8 trang 69 Tập 2

Bài 1 trang 69 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác cho tam giác ABC, ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC)

Suy ra $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}-\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{BD}}{5-\mathrm{BD}}=\frac{4}{6}$

Do đó 6BD = 4(5 – BD)

6BD = 20 – 4BD

6BD + 4BD = 20

10BD = 20

BD = 2.

⦁$\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$ (do BE là đường phân giác của góc ABC)

Suy ra $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AC}-\mathrm{EC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$ hay $\frac{\mathrm{CE}}{6-\mathrm{CE}}=\frac{5}{4}$

Do đó 4CE = 5(6 – CE)

4CE = 30 – 5CE

4CE + 5CE = 30

9CE = 30

$\mathrm{CE}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$

⦁$\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$ (do CF là đường phân giác của góc ACB)

Suy ra $\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{AB}-\mathrm{FA}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$ hay $\frac{\mathrm{AF}}{4-\mathrm{AF}}=\frac{6}{5}$

Do đó 5AF = 6(4 – AF)

5AF = 24 – 6AF

5AF + 6AF = 24

11AF = 24

$\mathrm{AF}=\frac{24}{11}.$

Bài 2 trang 69 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh$\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}.$

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}$ (do BE là đường phân giác của góc ABC trong ∆ABC);

⦁ $\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}$ (do BD là đường phân giác của góc ABM trong ∆ABM).

Mà BC = 2BM (do AM là đường trung tuyến của ∆ABC)

Suy ra $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}=2\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=2\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}.$

Vậy $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=2\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{DA}}.$

Bài 3 trang 69 Toán 8 Tập 2:Quan sátHình 43và chứng minh$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}:\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AC}}.$

Lời giải:

⦁ $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC trong ∆ABC);

⦁ $\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AG}}$ (do AE là đường phân giác của góc BAG trong ∆ABG).

Suy ra: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}:\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}:\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AG}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AC}}$

Vậy $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}:\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{EG}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AC}}.$

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

Bài 4 trang 69 Toán 8 Tập 2:Cho hình thoi ABCD(Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thoả mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN.

Lời giải:

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đường phân giác của góc BAC.

Xét ∆AMD có AN là đường phân giác góc MAD nên $\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{NM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AM}}$

Hay $\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{NM}}=\frac{\mathrm{AD}}{\frac{1}{3}\mathrm{AB}}$ (vì AB = 3AM)

Do đó $\frac{\mathrm{ND}}{\mathrm{NM}}=\frac{\mathrm{AB}}{\frac{1}{3}\mathrm{AB}}=3$

Vậy ND = 3MN

Bài 5 trang 69 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy ra BC = 5.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ (do AD là đường phân giác của góc BAC)

Suy ra $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}-\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$ hay $\frac{\mathrm{DB}}{5-\mathrm{DB}}=\frac{3}{4}$

Do đó 4DB = 3(5 – DB)

4DB = 15 – 3DB

4DB + 3DB = 15

7DB = 15

$\mathrm{DB}=\frac{15}{7}$

Khi đó $\mathrm{DC}=\mathrm{BC}-\mathrm{DB}=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy $\mathrm{BC}=5;\mathrm{DB}=\frac{15}{7};\mathrm{DC}=\frac{20}{7}.$

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ quả của định lí Thalès trong tam giác ABC với DH // AB, ta có:

$\frac{\mathrm{DH}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CB}}$ hay $\frac{\mathrm{DH}}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

Suy ra $\mathrm{DH}=\frac{3\cdot \frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC là $\mathrm{DH}=\frac{12}{7}.$

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, ta có: $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Hay $\frac{\mathrm{AH}}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5},$ suy ra $\mathrm{AH}=\frac{4\cdot \frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

Suy ra ${\mathrm{AD}}^2={\left(\frac{12}{7}\right)}^2+{\left(\frac{12}{7}\right)}^2=\frac{288}{49}$

Do đó $\mathrm{AD}=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144\cdot 2}{49}}=\sqrt{{\left(\frac{12\sqrt{2}}{7}\right)}^2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Vậy độ dài đường phân giác AD là $\frac{12\sqrt{2}}{7}.$

Bài 6 trang 69 Toán 8 Tập 2:Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45. Chứng minh AD.BC = AC.BD.

Lời giải:

Theo tính chất đường phân giác trong hai tam giác ACD và BCD, ta có:

⦁ $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}$ (do AE là đường phân giác của góc CAD);

⦁ $\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{ED}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$ (do BE là đường phân giác của góc CBD).

Suy ra $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BD}}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

Định lí

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

AD là đường phân giác của góc A trong $\mathrm{\Delta }ABC$, $D\in BC$

$\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Ví dụ:

RS là tia phân giác của góc $\widehat{PRQ}$. Sử dụng tính chất đường phân giác, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{SQ}{SR}=\frac{RQ}{RP}\\ \iff \frac{10}{5}=\frac{x}{6}\\ \iff 2=\frac{x}{6}\\ \iff x=12\end{array}$

Vậy độ dài đoạn thẳng RQ là 12.

Sơ đồ tư duy Tính chất đường phân giác của tam giác