Toán 8 Bài 9 (Cánh diều): Hình đồng dạng

Giải Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Giải Toán 8 trang 86 Tập 2

Khởi động trang 86 Toán 8 Tập 2:Hình 90mô tả hai bức ảnh cùng chụp Ngọ Môn (Hoàng Thành Huế) nhưng có kích thước khác nhau:

Hai bức ảnh trongHình 90giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình có mối liên hệ gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hai bức ảnh trong Hình 90 giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau gợi nên những hình đồng dạng với nhau.

I. Hình đồng dạng phối cảnh (Hình vị tự)

Hoạt động 1 trang 86 Toán 8 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ sao cho ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ cùng đi qua điểm O và $\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}=\frac{{\mathrm{OC}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=3$ (Hình 91). Tam giác A’B’C’ nhận được từ tam giác ABC bằng cách nào?

Lời giải:

Từ điểm O, ‘‘phóng to’’ ba lần tam giác ABC, ta sẽ nhận được tam giác A’B’C’.

Hoạt động 2 trang 86 Toán 8 Tập 2:Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ sao cho bốn đường thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ cùng đi qua điểm O và $\frac{{\mathrm{OA}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}=\frac{{\mathrm{OC}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=\frac{{\mathrm{OD}}^{\text{'}}}{\mathrm{OD}}=\frac{1}{2}$ (Hình 92). Tứ giác A’B’C’D’ có thể nhận được từ tứ giác ABCD bằng cách nào?

Lời giải:

Từ điểm O, ‘‘thu nhỏ’’ hai lần tứ giác ABCD, ta sẽ nhận được tứ giác A’B’C’D’.

II. Hình đồng dạng

Giải Toán 8 trang 87 Tập 2

Hoạt động 3 trang 87 Toán 8 Tập 2:Thực hiện các hoạt động sau.

a) Cắt ra từ tờ giấy kẻ ô vuông:

– Hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm, AD = 2 cm; hình chữ nhật A’B’C’D’ có A’B’ = 3 cm, A’D’ = 2 cm;

– Hình vuông MNPQ có MN = 4 cm; hình vuông M’N’P’Q’ có M’N’ = 4 cm.

b) – Đặt hai mảnh giấy hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ "chồng khít" lên nhau.

– Đặt hai mảnh giấy hình vuông MNPQ và M’N’P’Q’ "chồng khít" lên nhau

Lời giải:

Thực hiện theo hướng dẫn của GV và SGK.

Giải Toán 8 trang 88 Tập 2

Hoạt động 4 trang 88 Toán 8 Tập 2:TrongHình 94, hình chữ nhật ABCD có AB = 9 cm, AD = 6 cm; hình chữ nhật A’B’C’D’ có A’B’ = 3 cm, A’D’ = 2 cm; hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ có A’’B’’ = 3 cm, A’’D’’ = 2 cm. Quan sátHình 94và cho biết:

a) Hai hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’, ABCD có đồng dạng phối cảnh hay không.

b) Hai hình chữ nhật A’B’C’D’, A’’B’’C’’D’’ có bằng nhau hay không.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{CD}}=\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3};\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$

Do đó $\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{CD}}=\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}=\frac{1}{3}.$

Mà $\frac{{C^{\text{'}}}^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{CD}}=\frac{O{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=\frac{O{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OD}};\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{O{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{O{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Nên $\frac{O{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{O{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}=\frac{O{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=\frac{O{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OD}}.$

Do bốn đường thẳng AA’’, BB’’, CC’’, DD’’ cùng đi qua điểm O và $\frac{O{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{O{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}=\frac{O{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=\frac{O{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OD}}$ nên hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD.

b) Hai hình chữ nhật A’B’C’D’, A’’B’’C’’D’’ có các kích thước bằng nhau nên hình chữ nhật A’B’C’D’ bằng hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’.

Bài tập

Giải Toán 8 trang 89 Tập 2

Bài 1 trang 89 Toán 8 Tập 2:TrongHình 96, các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA’’, OB’’, OC’’, OD’’. Quan sátHình 96và cho biết:

a) Hai hình thoi A’B’C’D’ và A’’B’’C’’D’’có bằng nhau hay không;

b) Hai hình thoi A’B’C’D’ và ABCD có đồng dạng hay không.

Lời giải:

a) Từ lưới kẻ ô vuông ởHình 96, ta thấy hai hình thoi A’B’C’D’ và A’’B’’C’’D’’ có độ dài cạnh bằng nhau nên hai hình thoi đó bằng nhau.

b) Ở Hình 96, bốn đường thẳng AA’’, BB’’, CC’’, DD’’ cùng đi qua điểm O và $\frac{O{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OA}}=\frac{O{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OB}}=\frac{O{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OC}}=\frac{O{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{OD}}=2.$ Vậy hai hình thoi A’’B’’C’’D’’ và ABCD là đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh.

Mà hai hình thoi A’B’C’D’ và A’’B’’C’’D’’ bằng nhau nên hình thoi A’B’C’D’ đồng dạng với hình thoi ABCD.

Bài 2 trang 89 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 6, CA = 5. Cho O, I là hai điểm phân biệt.

a) Giả sử tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=3.$ Hãy tìm độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

b) Giả sử tam giác A’’B’’C’’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm I là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=3.$ Hãy tìm độ dài các cạnh của tam giác A’’B’’C’’.

c) Chứng minh ∆A’B’C’ = ∆A’’B’’C’’.

Chú ý: Hai tam giac cùng là hình đồng dạng phối cảnh tỉ số k (tâm đồng dạng phối cảnh có thể khác nhau) của một tam giác luôn bằng nhau.

Lời giải:

a) Tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=3,$ nên ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=3.$

Mà AB = 3, BC = 6, CA = 5 suy ra A’B’ = 9, B’C’ = 18, C’A’ = 15.

b) Tam giác A’’B’’C’’là hình đồng dạng phối cảnh của tam giác ABC với điểm I là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=3,$ nên ta có: $\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=3.$

Mà AB = 3, BC = 6, CA = 5 suy ra A’’B’’ = 9, B’’C’’ = 18, C’’A’’ = 15.

c) Xét ∆A’B’C’ và ∆A’’B’’C’’ có:

A’B’ = A’’B’’ = 9; B’C’ = B’’C’’ = 18; A’C’ = A’’C’’ = 15.

Nên ∆A’B’C’ = ∆A’’B’’C’’.

Bài 3 trang 89 Toán 8 Tập 2:Cho hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}.$ Trên các tia AB, AC, AD ta lần lượt lấy các điểm B’’, C’’, D’’sao cho $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{A{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}.$ Chứng minh:

a) Hình chữ nhật AB’’C’’D’’ đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD;

b) AB’’ = A’B’, B’’C’’ = B’C’;

c) Hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ là đồng dạng.

Lời giải:

a) Ba đường thẳng AB’’, AC’’, AD’’ cùng đi qua điểm A và $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{A{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}$ nên hai hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ và ABCD là đồng dạng phối cảnh và điểm A là tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ nên $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}.$

Mà $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{A{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}$ (giả thiết) và $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}$ (do A’’B’’C’’D’’ và ABCD là đồng dạng phối cảnh)

Suy ra $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}$

Do đó AB’’ = A’B’, B’’C’’ = B’C’.

c) Hai hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ và A’B’C’D’ có: AB’’ = A’B’, B’’C’’ = B’C’ nên hai hình chữ nhật A’B’C’D’ và A’’B’’C’’D’’ bằng nhau.

Mà hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD.

Vậy hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ là đồng dạng.

Lý thuyết Hình đồng dạng

1. Hình đồng dạng phối cảnh (hình vị tự)

Hai tam giác A’B’C’ và ABC gọi là đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với nhau, điểm O gọi là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$ gọi là tỉ số vị tự.

Tổng quát:

Bằng cách “phóng to” (nếu tỉ số vị tự k > 1) hay “thu nhỏ” (nếu tỉ số vị tự k < 1) hình H, ta sẽ nhận được hình H’ đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) với hình H.

Ta gọi hình H’ là hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) tỉ số k của hình H.

Hình đồng dạng phối cảnh tỉ số k của đoạn thẳng AB là một đoạn thẳng A’B’ (nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng AB) và $A^{\prime }{B}^{\prime }=k.AB$

2. Hình đồng dạng

Hai hình đồng dạng phối cảnh (hay vị tự) cũng là hai hình đồng dạng.

Sơ đồ tư duy Hình đồng dạng