Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Giải Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Giải Toán 8 trang 79 Tập 2

Khởi động trang 79 Toán 8 Tập 2:Bạn Hoàng và bạn Thu cùng vẽ bản đồ một ốc đảo và ba vị trí với tỉ lệ bản đồ khác nhau. Bạn Hoàng dùng ba điểm A, B, C lần lượt biểu thị các vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba(Hình 68a). Bạn Thu dùng ba điểm A’, B’, C’ lần lượt biểu thị ba vị trí đó(Hình 68b).

Hai tam giác A’B’C và ABC có đồng dạng hay không?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{2,4}{2}=\frac{6}{5};\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{5}.$Do đó $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{5}.$

Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có:

$\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=135°;$ $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}.$

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.g.c).

I. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Cạnh-góc-cạnh

Hoạt động 1 trang 79 Toán 8 Tập 2:

Quan sát Hình 68 và so sánh:

a) Các tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}$ và $\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}};$

b) Các góc $\hat{A}$ và $\widehat{A^{\text{'}}}.$

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{2,4}{2}=\frac{6}{5};\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{5}.$Do đó $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{6}{5}.$

b) Ta có: $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=135°.$

Giải Toán 8 trang 80 Tập 2

Luyện tập 1 trang 80 Toán 8 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ thoả mãn AB = 2, AC = 3, A’B’ = 6, A’C’ = 9 và$\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}.$ Chứng minh$\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\hat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}.$

Lời giải:

Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’, có:

$\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};$ $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c)

Do đó $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}},\hat{C}=\widehat{C^{\text{'}}}$ (các cặp góc tương ứng).

Luyện tập 2 trang 80 Toán 8 Tập 2:Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy các điểm A, Bsao cho OA = 2cm, OB = 9cm. Trên tia Oy lấy các điểm M, Nsao cho OM = 3cm, ON = 6cm. Chứng minh $\widehat{\mathrm{OBM}}=\widehat{\mathrm{ONA}}.$

Lời giải:

Xét hai tam giác OBM và ONA, ta có: $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\frac{3}{2},\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$Suy ra $\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}.$

Lại có $\hat{O}$ là góc chung. Suy ra ∆OBM ᔕ ∆ONA (c.g.c).

Do đó $\widehat{\mathrm{OBM}}=\widehat{\mathrm{ONA}}$ (hai góc tương ứng).

II. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vào tam giác vuông

Giải Toán 8 trang 81 Tập 2

Hoạt động 2 trang 81 Toán 8 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có:$\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A}=90°,\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}$(Hình 72). Chứng minh ∆A’B’C’ ᔕ∆ABC.

Lời giải:

Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có:

$\widehat{A^{\text{'}}}=\hat{A}=90°,\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}$

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ∆ABC (c.g.c).

Luyện tập 3 trang 81 Toán 8 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ sao cho $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$ Chứng minh $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}.$

Lời giải:

Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ nên $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’, ta có: $\hat{A}=\widehat{A^{\text{'}}}=90°$và $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c).

Do đó $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ (hai góc tương ứng).

Bài tập

Bài 1 trang 81 Toán 8 Tập 2:ChoHình 74.

a) Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆MNP.

b) Góc nào của tam giác ∆MNP bằng góc B?

c) Góc nào của tam giác ∆ABC bằng góc P?

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{5}{3,75}=\frac{4}{3};\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{4}{3}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{4}{3}.$

Xét ∆ABC và ∆MNP có:

$\hat{A}=\hat{M}=60°$ và $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}$

Vậy ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.g.c).

b) ∆ABC ᔕ ∆MNP, suy ra $\hat{B}=\hat{N}$ (hai góc tương ứng).

c) ∆ABC ᔕ ∆MNP, suy ra $\hat{C}=\hat{P}$ (hai góc tương ứng).

Giải Toán 8 trang 82 Tập 2

Bài 2 trang 82 Toán 8 Tập 2:ChoHình 75, chứng minh:

a) ∆IAB ᔕ ∆IDC;

b) ∆IAD ᔕ ∆IBC.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{ID}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}=\frac{3,5}{7}=\frac{1}{2}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{ID}}=\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆IAB và ∆IDC có:

$\widehat{\mathrm{AIB}}=\widehat{\mathrm{DIC}}$ (đối đỉnh) và $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{ID}}=\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}$

Vậy ∆IAB ᔕ ∆IDC (c.g.c).

b) Ta có $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=\frac{2}{3,5}=\frac{4}{7};\frac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IC}}=\frac{4}{7}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=\frac{\mathrm{ID}}{\mathrm{IC}}=\frac{4}{7}.$

Xét ∆IAD và ∆IBC có:

$\widehat{\mathrm{AID}}=\widehat{\mathrm{BIC}}$ (đối đỉnh) và$\frac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IB}}=\frac{\mathrm{ID}}{\mathrm{IC}}$

Vậy ∆IAD ᔕ ∆IBC (c.g.c).

Bài 3 trang 82 Toán 8 Tập 2:ChoHình 76, biết AB = 4, BC = 3, BE = 2, BD = 6. Chứng minh:

a) ∆ABD ᔕ ∆EBC;

b) $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DEG}};$

c) Tam giác DGE vuông.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EB}}=\frac{4}{2}=2;\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=\frac{6}{3}=2.$ Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}=2.$

Xét∆ABD và ∆EBCcó:

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{EBC}}=90°$ và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{EB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BC}}$

Vậy ∆ABD ᔕ ∆EBC (c.g.c).

b) Do ∆ABD ᔕ ∆EBC (câu a), suy ra $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{CEB}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{CEB}}=\widehat{\mathrm{DEG}}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DEG}}$

c) Ta có $\widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{ADB}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của ∆ABD vuông tại B bằng 90°)

Mà $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DEG}}$ (câu b)

Suy ra $\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{ADB}}=90°$ hay $\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{GDE}}=90°$

Xét ∆GDE có $\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{GDE}}+\widehat{\mathrm{DGE}}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{DGE}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{DEG}}+\widehat{\mathrm{GDE}}\right)=180°-90°=90°.$

Vậy tam giác DGE vuông tại G.

Bài 4 trang 82 Toán 8 Tập 2:ChoHình 77, chứng minh:

a) $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{BED}};$

b) BC ⊥ BE.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}.$ Suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆ABC và ∆DEB có:

$\hat{A}=\hat{D}\left(=90°\right);$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆DEB (c.g.c).

Do đó $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{DEB}}$ (hai góc tương ứng).

b) Ta có $\widehat{\mathrm{DEB}}+\widehat{\mathrm{DBE}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của ∆BDE vuông tại D bằng 90°)

Mà $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{DEB}}$ (câu a)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{DBE}}=90°$

Lại có $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{CBE}}+\widehat{\mathrm{DBE}}=180°$

Nên $\widehat{\mathrm{CBE}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{DBE}}\right)=180°-90°=90°.$

Do đó BC ⊥ BE.

Bài 5 trang 82 Toán 8 Tập 2:Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP.

a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆MNQ.

b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh ∆ABG ᔕ ∆MNK.

Lời giải:

a) Vì ∆ABC ᔕ ∆MNP (giả thiết) nên $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{MNP}}$ và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}$

Vì D, Q lần lượt là trung điểm của BC và NP nên $\mathrm{BD}=\frac{1}{2}\mathrm{BC},\mathrm{NQ}=\frac{1}{2}\mathrm{NP}$

Do đó $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{NQ}}=\frac{\frac{1}{2}\mathrm{BC}}{\frac{1}{2}\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NQ}},$ suy ra $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{NQ}}\left(=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}\right)$

Xét ∆ABDvà ∆MNQ có:

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{MNQ}}$ (do $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{MNP}});$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{NQ}}$

Suy ra ∆ABD ᔕ ∆MNQ (c.g.c).

b) Vì ∆ABD ᔕ ∆MNQ (câu a) $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{NMQ}}$ (hai góc tương ứng) và $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{MQ}}$ (tỉ số đồng dạng)

Mà G, K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP nên $\mathrm{AG}=\frac{2}{3}\mathrm{AD},\mathrm{MK}=\frac{2}{3}\mathrm{MQ}$

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{MQ}}=\frac{\frac{2}{3}\mathrm{AD}}{\frac{2}{3}\mathrm{MQ}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{MK}}$

Xét ∆ABG và ∆MNK có:

$\widehat{\mathrm{BAG}}=\widehat{\mathrm{NMK}}$ (do $\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{NMQ}});$

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{MK}}$

Vậy ∆ABG ᔕ ∆MNK (c.g.c).

Bài 6 trang 82 Toán 8 Tập 2:Cho Hình 78, biết AH² = BH.CH. Chứng minh:

a) ∆HAB ᔕ ∆HCA;

b) Tam giác ∆ABC vuông tại A.

Lời giải:

a) Từ AH² = BH.CH ta có $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}.$

Xét ∆HAB và ∆HCA có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHC}}\left(=90°\right);$

$\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$

Suy ra ∆HAB ᔕ ∆HCA (c.g.c).

b) Vì ∆HAB ᔕ ∆HCA (câu a) nên $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{CAH}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{HAB}}=90°$ (tổng hai góc nhọn của ∆ABH vuông tại H bằng 90°)

Suy ra $\widehat{\mathrm{CAH}}+\widehat{\mathrm{HAB}}=90°$ hay $\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$

Vậy ∆ABC vuông tại A.

Bài 7 trang 82 Toán 8 Tập 2:Đố.Chỉ sử dụng thước thẳng có chia đơn vị đến milimét và thước đo góc, làm thế nào đo được khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế, biết rằng có vị trí A thoả mãn AB = 20 m, AC = 50 m,$\widehat{\mathrm{BAC}}=135°.$

Bạn Vy làm như sau: Vẽ tam giác A’B’C’ có A’B’ = 2 cm, A’C’ = 5 cm, Bạn Vy lấy thước đo khoảng cách giữa hai điểm B’, C’ và nhận được kết quả B’C’ ≈ 6,6 cm. Từ đó, bạn Vy kết luận khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66 m. Em hãy giải thích tại sao bạn Vy có thể kết luận như vậy.

Lời giải:

Đổi A’B’ = 2 cm = 0,02 m;

A’C’ = 5 cm = 0,05 m;

B’C’ = 6,6 cm = 0,066 m.

Ta có $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{20}{0,02}=1000,$$\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{50}{0,05}=1000.$

Do đó $\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=1000$

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:

$\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=135°\right);$

$\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AC}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ (c.g.c)

Do đó $\frac{\mathrm{BC}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=1000$

Nên BC = 1 000 . B’C’ = 1 000 . 0,066 = 66 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí B, C trên thực tế khoảng 66m.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

1. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Cạnh – góc – cạnh

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC},\widehat{A^{\prime }}=\hat{A}\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC(c.g.c)\end{array}$

2. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác vuông

Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

$\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }MNP,\frac{MN}{AB}=\frac{MP}{AC},\hat{M}=\hat{A}={90}^0$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }MNP\backsim \mathrm{\Delta }ABC$(2cgv)

Sơ đồ tư duy Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác