Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Giải Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Giải Toán 8 trang 74 Tập 2

Khởi động trang 74 Toán 8 Tập 2:Mảnh đất trồng hoa của nhà bạn Hằng có dạng hình tam giác với độ dài các cạnh là 2 m, 3 m, 4 m. Bạn Hằng vẽ tam giác ABC có độ dài các cạnh là 1 cm, 1,5 cm, 2 cm để mô tả hình ảnh mảnh vườn đó(Hình 56a). Bạn Khôi nói rằng tam giác ABC nhỏ quá và vẽ tam giác A’B’C’ có độ dài các cạnh là 2 cm, 3 cm, 4 cm(Hình 56b).

Hai tam giác A’B’C’ và ABC có đồng dạng hay không?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta có, $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{1}=2;\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{2}=2;\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=\frac{3}{1,5}=2$

Do đó $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Xét ∆A’B’C’ và ∆ABC có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.c.c).

I. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Cạnh-cạnh-cạnh

Hoạt động 1 trang 74 Toán 8 Tập 2:Quan sát Hình 56 và so sánh các tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}};\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}};\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}.$

Lời giải:

Ta có $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{1}=2;\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{2}=2;\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=\frac{3}{1,5}=2$

Do đó, $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

Giải Toán 8 trang 75 Tập 2

Luyện tập 1 trang 75 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AG; BG; CG. Chứng minh ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC.

Lời giải:

Xét ∆ABG có: A’, B’ lần lượt là trung điểm của AG; BG nên A’B’ là đường trung bình của ∆ABG

Suy ra $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, ∆ACG có A’C’ là đường trung bình của tam giác nên $\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}.$

∆CBG có C’B’ là đường trung bình của tam giác nên $\frac{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{CB}}=\frac{1}{2}.$

Do đó, $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{C^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{CB}}\left(=\frac{1}{2}\right).$

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.c.c).

II. Áp dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vào tam giác vuông

Giải Toán 8 trang 76 Tập 2

Hoạt động 2 trang 76 Toán 8 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt vuông tại A và A’ (Hình 60) sao cho AB = 3, BC = 5, A’B’ = 6, B’C’ = 10.

a) Tính CA và C’A’.

b) So sánh các tỉ số $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}};\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}};\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}.$

c) Hai tam giác A’B’C’ và ABC có đồng dạng với nhau hay không

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² =BC² – AB² = 25 ‒ 9 =16.

Do đó AC = 4.

Xét ∆A’B’C’ vuông tại A’, theo định lí Pythagore ta có:

B’C’² = A’B’² + A’C’²

Suy ra A’C’² =B’C’² – A’B’² = 100 ‒ 36 = 64

Do đó A’C’ = 8.

b) Ta có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{6}{3}=2;\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{10}{5}=2;\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=\frac{8}{4}=2.$

Do đó, $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}=2$

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{\mathrm{CA}}$

Suy ra ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC (c.c.c).

Giải Toán 8 trang 78 Tập 2

Luyện tập 2 trang 78 Toán 8 Tập 2:ChoHình 64, chứng minh tam giác CDM vuông tại M.

Lời giải:

Ta có $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BM}}=\frac{2}{3};\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{MC}}=\frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}$nên $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{MC}}\left(=\frac{2}{3}\right).$

Xét ∆ADM và ∆BMC có:

$\hat{A}=\hat{B}=90°;$

$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{MC}}$

Suy ra ∆ADMᔕ∆BMC.

Do đó $\widehat{\mathrm{AMD}}=\widehat{\mathrm{BCM}}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{\mathrm{BCM}}+\widehat{\mathrm{BMC}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác BCM vuông tại B bằng 90°)

Suy ra $\widehat{\mathrm{AMD}}+\widehat{\mathrm{BMC}}=90°$

Lại có $\widehat{\mathrm{AMD}}+\widehat{\mathrm{DMC}}+\widehat{\mathrm{BMC}}=180°$

Nên $\widehat{\mathrm{DMC}}=180°-\left(\widehat{\mathrm{AMD}}+\widehat{\mathrm{BMC}}\right)=180°-90°=90°$

Do đó ∆CDM vuông tại M.

Bài tập

Bài 1 trang 78 Toán 8 Tập 2:Quan sátHình 65và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng:

Lời giải:

Ta có: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{IK}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2};\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{KH}}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2};\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{IH}}=\frac{7,5}{15}=\frac{1}{2}.$

Do đó, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{IK}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{KH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{IH}}\left(=\frac{1}{2}\right).$

Xét ∆ABC và ∆IKHcó: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{IK}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{KH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{IH}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆IKH (c.c.c).

Tương tự, xét ∆DEG và ∆MNP có: $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{DG}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{NP}}=\frac{1}{2}$

Suy ra ∆DEG ᔕ ∆MNP(c.c.c).

Bài 2 trang 78 Toán 8 Tập 2:Cho hai tam giác ABC và MNP có AB = 2; BC = 5; CA = 6; MN = 4; NP = 10; PM = 12. Hãy viết các cặp góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác trên và giải thích kết quả.

Lời giải:

Ta có: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};$ $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$ $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PM}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$

Xét ∆ABC và ∆MNP có:$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PM}}$

Suy ra ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c).

Do đó $\hat{A}=\hat{M};\hat{B}=\hat{N};\hat{C}=\hat{P}$ (các cặp góc tương ứng).

Bài 3 trang 78 Toán 8 Tập 2:Bác Hùng vẽ bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P trong thực tiễn. Bác Duy cũng vẽ một bản đồ trong đó dùng ba đỉnh A’, B’, C’ của tam giác A’B’C’ lần lượt mô tả ba vị trí M, N, P đó. Tỉ lệ bản đồ mà bác Hùng và bác Duy vẽ lần lượt là 1 : 1 000 000 và 1 : 1 500 000. Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆A’B’C’ và tính tỉ số đồng dạng.

Lời giải:

∆ABC ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{1}{1000000}$

Do đó $\mathrm{AB}=\frac{1}{1000000}\mathrm{MN}$

∆A’B’C’ ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{MN}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{NP}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{MP}}=\frac{1}{1500000}$

Do đó $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{1}{1500000}\mathrm{MN}$

Suy ra $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{\frac{1}{1500000}\mathrm{MN}}{\frac{1}{1000000}\mathrm{MN}}=\frac{1000000}{1500000}=\frac{2}{3}.$

Tương tự ta cũng có $\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3};\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3}$

Do đó $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{3}.$

Suy ra ∆A’B’C’ᔕ ∆ABC theo tỉ số đồng dạng là $\frac{2}{3}.$

Bài 4 trang 78 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc tia OA, OB, OC sao cho$\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}.$Chứng minh ∆ABC ᔕ ∆MNP.

Lời giải:

⦁ Xét tam giác OMN có: $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}=\frac{2}{3}$ nên AB // MN (định lí Thalès đảo)

Do đó $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}$ (1)

⦁ Xét tam giác OMP có: $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OP}}=\frac{2}{3}$ nên AC // MP (định lí Thalès đảo)

Do đó $\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OM}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OP}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}$ (2)

⦁ Xét tam giác ONP có: $\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}=\frac{2}{3}$ nên BC // NP (định lí Thalès đảo)

Do đó $\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{ON}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{MP}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{NP}}$

Do đó ∆ABC ᔕ ∆MNP (c.c.c)

Bài 5 trang 78 Toán 8 Tập 2:Bạn Hoa vẽ trên giấy một tam giác ABC và đoạn thẳng MN với các kích thước nhưHình 66. Bạn Hoa đố bạn Thanh vẽ điểm P thỏa mãn$\widehat{\mathrm{PMN}}=\widehat{\mathrm{ACB}};$ $\widehat{\mathrm{PNM}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$mà không sử dụng thước đo góc. Em hãy giúp bạn Thanh sử dụng thước thẳng (có chia khoảng milimét) và compa để vẽ điểm P và giải thích kết quả tìm được.

Lời giải:

Bước 1.Qua M vẽ cung tròn tâm M, bán kính là 9 cm.

Bước 2.. Qua N, vẽ cung tròn tâm N, bán kính là 12 cm.

Bước 3.Giao điểm của hai cung tròn đã vẽ là điểm P.

Ta được: MP = 9 cm; NP = 12 cm.

Ta có: $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}=\frac{4,5}{3}=\frac{3}{2};\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{BC}}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2};\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.$

Do đó $\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{2}.$

Suy ra ∆MNP ᔕ ∆CAB nên $\widehat{\mathrm{PMN}}=\widehat{\mathrm{BCA}};\widehat{\mathrm{PNM}}=\widehat{\mathrm{BAC}}$ (các cặp góc tương ứng).

Bài 6 trang 78 Toán 8 Tập 2:Cho hình bình hành ABCD và BMNP như ởHình 67. Chứng minh:

a)$\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}};$

b) ∆MNP ᔕ ∆CBA.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AB // CD.

Do BMNP là hình bình hành nên MN // BP và NP // BM

Do đó MN // BC // AD và NP // AB // CD.

Xét ∆ABDvới MN // AD, ta có $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{AD}}$ (hệ quả của định lí Thalès) (1)

Xét ∆BDCvới NP // CD, ta có $\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{CD}}$ (hệ quả của định lí Thalès) (2)

Do đó $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}.$

b) Xét tam giác ABC có: $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}$ nên MP // AC (định lí Thalès đảo)

Suy ra $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{AC}}$ (hệ quả của định lí Thalès) (3)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD = CB; BA = CD(4)

Tư (1), (2), (3) và (4) ta có$\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{NP}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{CA}}$.

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Cạnh – cạnh – cạnh

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \mathrm{\Delta }ABC(c.c.c)\end{array}$

2. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác vuông

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

$\mathrm{\Delta }ABC,\mathrm{\Delta }MNP,\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC},\hat{M}=\hat{A}={90}^0$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }MNP\backsim \mathrm{\Delta }ABC$ (ch.cgv)

Sơ đồ tư duy Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác