Bài 3 trang 89 Toán 8 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 3 trang 89 Toán 8 Tập 2:Cho hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}.$ Trên các tia AB, AC, AD ta lần lượt lấy các điểm B’’, C’’, D’’sao cho $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{A{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}.$ Chứng minh:

a) Hình chữ nhật AB’’C’’D’’ đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD;

b) AB’’ = A’B’, B’’C’’ = B’C’;

c) Hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ là đồng dạng.

Lời giải:

a) Ba đường thẳng AB’’, AC’’, AD’’ cùng đi qua điểm A và $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{A{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}$ nên hai hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ và ABCD là đồng dạng phối cảnh và điểm A là tâm đồng dạng phối cảnh.

b) Hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ có $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$ nên $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}.$

Mà $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{A{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AC}}=\frac{A{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AD}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}$ (giả thiết) và $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}$ (do A’’B’’C’’D’’ và ABCD là đồng dạng phối cảnh)

Suy ra $\frac{A{B^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}=\frac{{B^{\text{'}}}^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{\mathrm{BC}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{\mathrm{AB}}$

Do đó AB’’ = A’B’, B’’C’’ = B’C’.

c) Hai hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ và A’B’C’D’ có: AB’’ = A’B’, B’’C’’ = B’C’ nên hai hình chữ nhật A’B’C’D’ và A’’B’’C’’D’’ bằng nhau.

Mà hình chữ nhật A’’B’’C’’D’’ đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD.

Vậy hai hình chữ nhật ABCD và A’B’C’D’ là đồng dạng.