Luyện tập 3 trang 68 Toán 8 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài 4: Tính chất đường phân giác của tam giác

Luyện tập 3 trang 68 Toán 8 Tập 2:Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CE. Chứng minh $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=1.$

Lời giải:

Xét tam giác ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF, ta có:

$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}};\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}};\frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}$ (tính chất đường phân giác)

Do đó $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\cdot \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\cdot \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}}{\mathrm{CA}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}}=1.$

Vậy $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{FA}}{\mathrm{FB}}=1.$