Tìm x để căn thức sau có nghĩa

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\left|A\right|$

Bài 12 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x để căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{-2x+3}$

b) $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$

c) $\sqrt{\frac{4}{x+3}}$

d) $\sqrt{\frac{-5}{x^2+6}}$

Lời giải:

a) Ta có: $\sqrt{-2x+3}$có nghĩa khi:

-2x + 3 $\ge$0

$\iff -2x\ge -3\iff -2x\ge -3\iff x\le \left(-3\right):\left(-2\right)\iff x\le \frac{3}{2}$

Vậy $x\le \frac{3}{2}$ thì căn đã cho có nghĩa

b) Ta có: $\sqrt{\frac{2}{x^2}}$ có nghĩa khi $\frac{2}{x^2}\ge 0$

Vì 2 > 0 và $x^2\ge 0$ với mọi x nên $\frac{2}{x^2}\ge 0$

khi $x^2\ne 0\iff x\ne 0.$

Vậy $x\ne 0$ thì căn đã cho có nghĩa

c) Ta có: $\sqrt{\frac{4}{x+3}}$có nghĩa khi $\frac{4}{x+3}\ge 0$

Vì 4 > 0 nên để $\frac{4}{x+3}\ge 0$ thì

$\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ x+3\ne 0\end{array}\iff x+3>0\iff x>-3.$

Vậy $x>-3$ thì căn đã cho có nghĩa

d) Ta có: $x^2$ ≥ 0 với mọi x

nên $x^2$ + 6 > 0 với mọi x

Mà -5 < 0

$\Rightarrow \frac{-5}{x^2+6}$ < 0 với mọi x

Do đó không tồn tại giá trị nào của x để $\frac{-5}{x^2+6}\ge 0$

Vậy không có giá trị nào của x để căn thức đã cho có nghĩa.

*Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định rồi tìm x

+ Hàm số √A xác định ⇔ A ≥ 0.

+ Hàm phân thức xác định ⇔ mẫu thức khác 0.

*Lý thuyết:

1. Căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai

Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho$x^2=a$.

Nhận xét:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là$\sqrt{a}$(căn bậc hai số học của a) và$-\sqrt{a}$.

Ví dụ:

• $\sqrt{81}=9$nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và -9.
• Căn bậc hai số học của 121 là$\sqrt{121}=11$.

Tính căn bậc hai của một số bằng máy tính cầm tay

Để tính các căn bậc hai của một số$a>0$, chỉ cần tính$\sqrt{a}$. Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT. Sử dụng nút này để bấm căn bậc hai.

Ví dụ:

Bấm lần lượt các phím ta tính được$\sqrt{11,1}\approx 3,33$.

Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 3,33 và -3,33.

Tính chất của căn bậc hai

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$với mọi số thực a.

Khái niệm căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng$\sqrt{A}$, trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ:$\sqrt{2x-1}$,$\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$là các căn thức bậc hai.

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

$\sqrt{A}$xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là$A\ge 0$. Ta nói$A\ge 0$là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của$\sqrt{A}$.

Ví dụ: Điều kiện xác định của căn thức$\sqrt{2x+1}$là$2x+1\ge 0$hay$x\ge -\frac{1}{2}$.

Điều kiện xác định của căn thức$\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$là$-\frac{1}{3}x+2\ge 0$hay$x\le 6$.

Hằng đẳng thức$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$

Với A là một biểu thức, ta có:

Với$A\ge 0$ta có$\sqrt{A}\ge 0$;${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$; $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.