Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{\left|}\mathbf{A}\mathbf{\right|}$

Bài 22 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: $\sqrt{{\left(n+1\right)}^2}+\sqrt{n^2}={\left(n+1\right)}^2-n^2$

Viết đẳng thức trên khi n là 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

Lời giải:

Xét VT = $\sqrt{{\left(n+1\right)}^2}+\sqrt{n^2}=\left.n+1\right|+\left.n\right|$

Vì n là số tự nhiên nên n $\ge$ 0 do đó:

$\left.n+1\right|=n+1$; $\left.n\right|=n$

Khi đó VT = n + 1 + n = 2n + 1 (*)

Xét VP

$={\left(n+\text{}1\right)}^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1(**)$

Từ (*) và (**) ta có: VT = VP (điều phải chứng minh)

*) Với n = 1 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(1+1\right)}^2}+\sqrt{1^2}={\left(1+1\right)}^2-1^2$

*) Với n = 2 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(2+1\right)}^2}+\sqrt{2^2}={\left(2+1\right)}^2-2^2$

*) Với n = 3 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(3+1\right)}^2}+\sqrt{3^2}={\left(3+1\right)}^2-3^2$

*) Với n = 4 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(4+1\right)}^2}+\sqrt{4^2}={\left(4+1\right)}^2-4^2$

*) Với n = 5 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(5+1\right)}^2}+\sqrt{5^2}={\left(5+1\right)}^2-5^2$

*) Với n = 6 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(6+1\right)}^2}+\sqrt{6^2}={\left(6+1\right)}^2-6^2$

*) Với n = 7 ta có đẳng thức trên là:

$\sqrt{{\left(7+1\right)}^2}+\sqrt{7^2}={\left(7+1\right)}^2-7^2$