Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{\left|}\mathbf{A}\mathbf{\right|}$

Bài 15 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a) $9+4\sqrt{5}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^2$

b) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2$

c) ${\left(4-\sqrt{7}\right)}^2=23-8\sqrt{7}$

d) $\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}=4$

Lời giải:

a) Ta có:

$\mathrm{VP}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.2+2^2=5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}=\mathrm{VT}$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

b) $VT=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-5=\sqrt{5-\mathrm{2.2.}\sqrt{5}+4}-\sqrt{5}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-\mathrm{2.2.}\sqrt{5}+2^2}-\sqrt{5}=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}-\sqrt{5}=\left.\sqrt{5}-2\right|-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2=VP$

( do $\sqrt{5}-2>0$ nên $\left.\sqrt{5}-2\right|=\sqrt{5}-2$ )

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.

c) $VT={\left(4-\sqrt{7}\right)}^2=4^2-\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2=16-8\sqrt{7}+7=23-8\sqrt{7}=VP$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.

d) 

$VT=\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}=\sqrt{16+\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+7}-\sqrt{7}=\sqrt{4^2+\mathrm{2.4.}\sqrt{7}+{\left(\sqrt{7}\right)}^2}-\sqrt{7}=\sqrt{{\left(4+\sqrt{7}\right)}^2}-\sqrt{7}=\left.4+\sqrt{7}\right|-\sqrt{7}=4+\sqrt{7}-\sqrt{7}=4=VP$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.