Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{\left|}\mathbf{A}\mathbf{\right|}$

Bài 16 trang 7 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x?

a) $\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$

b) $\sqrt{x^2-4}$

c) $\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$

d) $\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}$

Lời giải:

a) Để $\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$có nghĩa thì $\left(x-1\right)\left(x-3\right)\ge 0$

* Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ x-3\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 1\\ x\ge 3\end{array}\Rightarrow x\ge 3$

* Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x-1\le 0\\ x-3\le 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le 1\\ x\le 3\end{array}\Rightarrow x\le 1$

Vậy để căn có nghĩa thì $x\ge 3$ hoặc x $\le$1.

b) $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

Để $\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$có nghĩa thì $\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ge 0$

* Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x+2\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 2\\ x\ge -2\end{array}\Rightarrow x\ge 2$

* Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x-2\le 0\\ x+2\le 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le 2\\ x\le -2\end{array}\Rightarrow x\le -2$

Vậy để căn có nghĩa thì $x\ge 2$hoặc $x\le -2$

c) Để $\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}$ có nghĩa thì $\frac{x-2}{x+3}\ge 0$

* Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}x-2\ge 0\\ x+3>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 2\\ x>-3\end{array}\Rightarrow x\ge 2$

* Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}x-2\le 0\\ x+3<0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le 2\\ x<-3\end{array}\Rightarrow x<-3$

Vậy để căn có nghĩa thì x < - 3 hoặc $x\ge 2$.

d) Để $\sqrt{\frac{2+x}{5-x}}$có nghĩa thì $\frac{2+x}{5-x}\ge 0$

* Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2+x\ge 0\\ 5-x>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge -2\\ -x>-5\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge -2\\ x<5\end{array}\Rightarrow -2\le x<5$

* Trường hợp 2:                                     

$\begin{array}{l}2+x\le 0\\ 5-x<0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le -2\\ -x<-5\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le -2\\ x>5\end{array}\left(Vôlí\right)$ 

Vậy để căn có nghĩa thì $-2\le x<5$