So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Căn bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{\mathbf{A}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{\left|}\mathbf{A}\mathbf{\right|}$

Bài 20 trang 8 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) 6 + 2$\sqrt{2}$ và 9    

b) $\sqrt{2}$+ $\sqrt{3}$ và 3

c) 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16    

d) $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ và 2

Lời giải:

a) Ta có: 9 = 6 + 3

Để so sánh 6 + 2$\sqrt{2}$ và 9

ta đi so sánh 3 và 2$\sqrt{2}$.

Ta có ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8$ và $3^2$ = 9

Vì 8 < 9 nên $2\sqrt{2}$ < 3

$\Rightarrow$6 + 2$\sqrt{2}$ < 6 + 3

hay 6 + 2$\sqrt{2}$ < 9.

Vậy 6 + 2$\sqrt{2}$ < 9.

b) Ta có:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=2+2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+3=5+2\sqrt{6}$

$3^2=9$

Để so sánh $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ và 3

ta đi so sánh $5+2\sqrt{6}$ và 9

Ta lại có: 9 = 5 + 4 nên để

so sánh $5+2\sqrt{6}$ và 9

ta đi so sánh 4 và $2\sqrt{6}$

Ta có: ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=4.6=24$; $4^2=16$

Vì 16 < 24 nên 4 < $2\sqrt{6}$

$\Rightarrow$5 + 4 < 5 +  $2\sqrt{6}$

$\Rightarrow$ 9 <  $5+2\sqrt{6}$

$\Rightarrow$ 3 < $\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Vậy 3 < $\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

c) Ta có: 16 = 9 + 7

Để so sánh 9 + 4$\sqrt{5}$ và 16

ta so sánh 7 và 4$\sqrt{5}$

Ta có: $7^2$ = 49;

${\left(4\sqrt{5}\right)}^2=16.5=80$

Vì 49 < 80 nên 7 < $4\sqrt{5}$

$\Rightarrow$4$\sqrt{5}>7$$\iff 4\sqrt{5}+9>7+9$

 hay $4\sqrt{5}+9>16$

Vậy $4\sqrt{5}+9>16$.

d) Ta có:

${\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^2={\left(\sqrt{11}\right)}^2-2.\sqrt{11}.\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2$

$=11-2.\sqrt{33}+3=14-2\sqrt{33}$

Ta lại có: $2^2=4$

Ta có 4 = 14 – 10

Để so sánh $\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$ và 2

ta so sánh $14-2\sqrt{33}$ và 4 

hay so sánh 10 và $2\sqrt{33}$

Ta có: ${10}^2=100$

${\left(2\sqrt{33}\right)}^2=4.33=132$

Vì 100 < 132 nên 10 < $2\sqrt{33}$

$\Rightarrow 14-10>14-2\sqrt{33}$

hay 4 > $14-2\sqrt{33}$

$\Rightarrow \sqrt{4}>\sqrt{14-2\sqrt{33}}\Rightarrow 2>\sqrt{11}-\sqrt{3}$

Vậy 2 > $\sqrt{11}-\sqrt{3}$.