Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 101 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh: $x-4\sqrt{x-4}={\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2$

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

A = $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$

Lời giải:

a) Xét VP = ${\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2$

$={\left(\sqrt{x-4}\right)}^2-2.\sqrt{x-4}.2+2^2$

$=x-4-4\sqrt{x-4}+4=x-4\sqrt{x-4}=VT$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

b) Điều kiện:

$\begin{array}{l}x-4\ge 0\\ x-4\sqrt{x-4}\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 4\\ x-4-4\sqrt{x-4}+4\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 4\\ {\left(\sqrt{x-4}\right)}^2-2.\sqrt{x-4}.2+2^2\ge 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge 4\\ {\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2\ge 0\end{array}\Rightarrow x\ge 4$

Từ câu a ta có:

$x-4\sqrt{x-4}={\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2$

Lại có:

$x+4\sqrt{x-4}=x-4+4\sqrt{x-4}+4$

$={\left(\sqrt{x-4}\right)}^2+2.\sqrt{x-4}.2+2^2={\left(\sqrt{x-4}+2\right)}^2$

A = $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}$

$\iff A=\sqrt{{\left(\sqrt{x-4}-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{x-4}+2\right)}^2}\iff A=\left.\sqrt{x-4}-2\right|+\left.\sqrt{x-4}+2\right|$

Ta có: $\sqrt{x-4}\ge 0$ với mọi x thỏa mãn điều kiện,

do đó $\sqrt{x-4}+2>0$

$\Rightarrow \left.\sqrt{x-4}+2\right|=\sqrt{x-4}+2$

Trường hợp 1:

$\sqrt{x-4}-2<0\iff \sqrt{x-4}<2\iff x-4<4\iff x<8$

Kết hợp với điều kiện ta có:

$4\le x<8$ thì $\sqrt{x-4}-2<0$

$\Rightarrow \left.\sqrt{x-4}-2\right|=2-\sqrt{x-4}$

Khi đó A trở thành:

A = $2-\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}+2=4$

Trường hợp 2:

$\sqrt{x-4}-2\ge 0\iff \sqrt{x-4}\ge 2\iff x-4\ge 4\iff x\ge 8$

Kết hợp với điều kiện ta có:

$x\ge 8$ thì $\sqrt{x-4}-2\ge 0$

$\Rightarrow \left.\sqrt{x-4}-2\right|=\sqrt{x-4}-2$

Khi đó A trở thành:

A = $\sqrt{x-4}-2+\sqrt{x-4}+2=2\sqrt{x-4}$