Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 105 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠ b)

a)$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

b)$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right){\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)}^2=1$

Lời giải:

a) Ta có:

VT = $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\frac{2b}{b-a}$

= $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{2b}{a-b}$

$=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$

$=\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$

$=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a+2\sqrt{ab}-b+4b}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{{\displaystyle 4\sqrt{ab}+4b}}{{\displaystyle 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}}=\frac{{\displaystyle 4\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}}{{\displaystyle 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}}$

$=\frac{2\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}$ = VP

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh

b) Xét

VT = $\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right){\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)}^2$

$=\left(\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^3+{\left(\sqrt{b}\right)}^3}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right)\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(a-b\right)}^2}=\left(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}\right).\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{{\left.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\right]}^2}=\left(a-\sqrt{ab}+b-\sqrt{ab}\right).\frac{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}=\left(a-2\sqrt{ab}+b\right).\frac{1}{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}={\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2.\frac{1}{{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2}=1=VP$

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh