Rút gọn C

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 108 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức: $C=\left(\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{x+9}{9-x}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1}{x-3\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

 với x > 0; x $\ne 9$.

a) Rút gọn C

b) Tìm x sao cho C < -1.

Lời giải:

a) $C=\left(\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{x+9}{9-x}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1}{x-3\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$\iff C=\left(\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}-\frac{x+9}{x-9}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$

$\iff C=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{x+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)$

$\iff C=\left(\frac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{x+9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right):\left(\frac{3\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)$

$\iff C=\frac{x-3\sqrt{x}-x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\frac{2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$\iff C=\frac{-3\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}:\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$\iff C=\frac{-3\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$\iff C=\frac{-3.\left(\sqrt{x}+3\right).\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right).\left(\sqrt{x}-3\right)\mathrm{.2.}\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$\iff C=\frac{-3\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}$

 với x > 0; x $\ne 9$.

b) Để C < -1 thì $\frac{-3\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}+2\right)}<-1$

$\iff \frac{-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+4}<-1\iff \frac{-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+4}+1<0\iff \frac{-3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+4}+\frac{2\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}+4}<0\iff \frac{-3\sqrt{x}+2\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}+4}<0\iff \frac{-\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}+4}<0$

Ta có $\frac{-\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}+4}<0$ 

$\iff -\sqrt{x}+4$ và $2\sqrt{x}+4$ trái dấu.

Ta có:

$\sqrt{x}\ge 0$ với mọi x thỏa mãn điều kiện

$\Rightarrow 2\sqrt{x}\ge 0\iff 2\sqrt{x}+4\ge 4>0$

Vậy để $\frac{-\sqrt{x}+4}{2\sqrt{x}+4}<0$ thì $-\sqrt{x}+4$ < 0

$\iff -\sqrt{x}<-4\iff \sqrt{x}>4\iff x>16$

Kết hợp với điều kiện đề bài ta có:

$\begin{array}{l}x>16\\ x>0\\ x\ne 9\end{array}\Rightarrow x>16$

Vậy x > 16 thì C < -1