Chứng minh các đẳng thức sau

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 98 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau

a) $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$

b) $\sqrt{\frac{4}{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{4}{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}}=8$

Lời giải:

a) Ta thấy $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$ không âm

Do đó thay vì chứng minh $\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{6}$ ta đi chứng minh: ${\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2=6$

Ta có:

${\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)}^2=2+\sqrt{3}+2.\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2-\sqrt{3}}+2-\sqrt{3}=4+2\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=4+2\sqrt{4-3}=4+2=6$

$\Rightarrow$Điều cần chứng minh

b) Ta có VT = $\sqrt{\frac{4}{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{4}{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}}$

$=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^2}}-\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{{\left(2+\sqrt{5}\right)}^2}}$

$=\frac{2}{\left.2-\sqrt{5}\right|}-\frac{2}{\left.2+\sqrt{5}\right|}=\frac{2}{\sqrt{5}-2}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}$

(vì $\sqrt{5}>2$ nên $2-\sqrt{5}<0$

do đó $\left.2-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}-2$)

$=\frac{2.\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}-\frac{2.\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=\frac{4+2\sqrt{5}}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}-\frac{2\sqrt{5}-4}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}=\frac{4+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+4}{5-4}=\frac{8}{1}=8$

 (điều phải chứng minh)