Không dùng bảng số hoặc máy tính

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài I.1 trang 23 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ với $\sqrt{5}+1$.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1.\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

Đặt a = $\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\Rightarrow a^2={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2=3+2\sqrt{6}+2=5+2\sqrt{6}$

Đặt b = $\sqrt{5}+1\Rightarrow b^2={\left(\sqrt{5}+1\right)}^2$

$=5+2\sqrt{5}+1=6+2\sqrt{5}$

= $5+1+2\sqrt{5}$

Ta đi so sánh $2\sqrt{6}$ và 1 + $2\sqrt{5}$

Ta có: ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=24$ = 21 + 3

${\left(1+2\sqrt{5}\right)}^2=1+4\sqrt{5}+20=21+4\sqrt{5}$

Ta lại đi so sánh 3 và 4$\sqrt{5}$

Ta có: $3^2=9$

${\left(4\sqrt{5}\right)}^2=80$

Vì 9 < 80 nên 3 < $4\sqrt{5}$ 

do đó 21 + 3 < 21 + 4$\sqrt{5}$

hay 24 < $21+4\sqrt{5}$

Vì 24 < 21 + 4$\sqrt{5}$ nên $2\sqrt{6}<1+2\sqrt{5}$

Vì $2\sqrt{6}<1+2\sqrt{5}\Rightarrow 5+2\sqrt{6}<5+1+2\sqrt{5}$

$\iff 5+2\sqrt{6}<6+2\sqrt{5}\Rightarrow a^2<b^2$

hay a < b

Do đó: $\sqrt{3}+\sqrt{2}<\sqrt{5}+1$

hay $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}<\sqrt{5}+1$