Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Ôn tập chương 1

Bài 103 trang 22 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

Chứng minh: $x-\sqrt{x}+1={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$ với x > 0. Từ đó, cho biết biểu thức $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$ có giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Xét $x-\sqrt{x}+1$

$={\left(\sqrt{x}\right)}^2-2.\sqrt{x}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+1={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$

 (điều phải chứng minh)

Ta có: $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$

 = $\frac{1}{{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}$

Vì ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$ với mọi x

Do đó: ${\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}\le \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Hay $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\le \frac{4}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\iff {\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2=0$

$\iff \sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\iff \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

Vậy $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$ đạt giá trị lớn nhất là $\frac{4}{3}$ khi x$=\frac{1}{4}$