Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 4a, R’ = a

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài 76 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2:Hai ròng rọc có tâm O, O’ và bán kính R = 4a, R’ = a. Hai tiếp tuyến chung MN và PQ cắt nhau tại A theo góc 60° (hình 14) .Tìm độ dài của dây cua-roa mắc qua hai ròng rọc.

Lời giải:

Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A nên O, O’, A thẳng hàng

Có: $\widehat{OAM}=\widehat{OAP}=\frac{1}{2}\widehat{MAP}$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

Xét tam giác OMA vuông tại M (do MA là tiếp tuyến của (O))

Có: $MA=OM.\cot \widehat{OAM}=4a.\cot {30}^o=4a\sqrt{3}$

Xét tam giác O’NA vuông tại N (do NA là tiếp tuyến của (O’))

Có: $NA=O\text{'}N.\cot \widehat{O\text{'}AN}=a.\cot {30}^o=a\sqrt{3}$

Từ đó , ta có: MN = MA – NA = $4a\sqrt{3}-a\sqrt{3}=3a\sqrt{3}$

Xét tứ giác O’NAQ có:

 $\widehat{N}=\widehat{Q}={90}^o$(do NA, QA là tiếp tuyến của (O’))

 $\widehat{A}={60}^o$

$\Rightarrow \widehat{NO\text{'}Q}={360}^o-\left({90}^o+{90}^o+{60}^o\right)={120}^o$

Do đó, số đo cung nhỏ NQ là ${120}^o$

Độ dài cung nhỏ NQ là: $l_1=\frac{\pi a.120}{180}=\frac{2\pi a}{3}$

Xét tứ giác OMAP có:

 $\widehat{M}=\widehat{P}={90}^o$(do MA, PA là tiếp tuyến của (O))

$\widehat{A}={60}^o$

$\Rightarrow \widehat{MOP}={360}^o-\left({90}^o+{90}^o+{60}^o\right)={120}^o$

Do đó, số đo cung nhỏ MP là ${120}^o$

Do đó, số đo cung lớn MP là: ${360}^o-{120}^o={240}^o$

Độ dài cung lớn MP là: $l_2=\frac{\pi .4a.240}{180}=\frac{16\pi a}{3}$

Chiều dài của dây cua-roa mắc qua hai ròng rọc là: $2MN+l_1+l_2=2.3a\sqrt{3}+\frac{2\pi a}{3}+\frac{16\pi a}{3}=6a\left(\sqrt{3}+a\right)$