Cho đường tròn đường kính AB.Qua A và B kẻ hai

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài 73 trang 113 SBT Toán 9 Tập 2:Cho đường tròn đường kính AB.Qua A và B kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi M là một điểm trên đường tròn . Các đường thẳng AM và BM cắt tiếp tuyến trên lần lượt tại B’ và A’.

a) Chứng minh rằng: $AA\text{'}.BB\text{'}=A{B}^2$

b) Chứng minh rằng: $A\text{'}{A}^2=A\text{'}M.A\text{'}B$

Lời giải:

a)

Xét tam giác AB’B vuông tại B (do BB’ là tiếp tuyến)

 $\Rightarrow \widehat{BB\text{'}A}+\widehat{BAB\text{'}}={90}^o$(1)

Xét tam giác AMB vuông tại M (do góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $\Rightarrow \widehat{ABA\text{'}}+\widehat{BAB\text{'}}={90}^o$(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{BB\text{'}A}=\widehat{ABA\text{'}}$

Xét tam giác AA’B và tam giác BB’A có:

 $\widehat{A\text{'}AB}=\widehat{B\text{'}BA}={90}^o$(do A’A và B’B là tiếp tuyến)

 $\widehat{BB\text{'}A}=\widehat{ABA\text{'}}$(cmt)

Do đó, tam giác AA’B và tam giác BB’A đồng dạng (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{AA\text{'}}{BA}=\frac{AB}{BB\text{'}}\Rightarrow AA\text{'}.BB\text{'}=A{B}^2$

b)

 $\widehat{AMB}={90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 $\Rightarrow$ AM vuông góc với A’B tại M

Xét tam giác AA’B vuông tại A có đường cao AM

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AA{\text{'}}^2=A\text{'}M.A\text{'}B$