Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng đường chéo

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài 74 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2:Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng đường chéo BF chia AD thành hai đoạn thẳng theo tỉ lệ 1 : 3.

Lời giải:

Lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O)

Do đó, ta có: $sđ\stackrel{⏜}{AB}=sđ\stackrel{⏜}{CB}=sđ\stackrel{⏜}{CD}=sđ\stackrel{⏜}{DE}=sđ\stackrel{⏜}{EF}=sđ\stackrel{⏜}{FA}=\frac{{360}^o}{6}={60}^o$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{ABCD}=sđ\stackrel{⏜}{AB}+sđ\stackrel{⏜}{BC}+sđ\stackrel{⏜}{CD}={60}^o+{60}^o+{60}^o={180}^o$

Do đó, AD là đường kính của đường tròn (O)

Ta có: OA = OB = OF = AB = AF = R

Do đó, tứ giác ABOF là hình thoi

Gọi giao điểm của AD và BF là H

Ta có: FB vuông góc với OA tại H (tính chất hình thoi)

  $\Rightarrow AH=HO=\frac{AO}{2}=\frac{R}{2}$(tính chất hình thoi)

Mà: $HD=HO+OD=\frac{R}{2}+R=\frac{3}{2}R$

$\Rightarrow \frac{AH}{HD}=\frac{\frac{R}{2}}{\frac{3R}{2}}=\frac{1}{3}$