Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài III.1 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2:Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a. Lần lượt lấy B và D làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính a. Kẻ các đường kính ABE và ADF. Trên cung nhỏ CE của đường tròn tâm B lấy điểm M (không trùng với E và C). Đường thẳng CM cắt đường tròn tâm D tại điểm thứ hai là N. Hai đường thẳng EM và NF cắt nhau tại điểm T. Gọi H là giao điểm của AT và MN. Chứng minh:

a) MNT là tam giác đều.

b) AT = 4AH.

Lời giải:

a)

Xét đường tròn (B) ta có:

 $\widehat{AMC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$(hệ quả góc nội tiếp)

Mà  $\widehat{ABC}={60}^o$(do tam giác ABC đều)

$\Rightarrow \widehat{AMC}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

Có:  $\widehat{AME}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (B))

$\Rightarrow \widehat{AMT}={90}^o$

Lại có: $\widehat{TMN}=\widehat{AMT}-\widehat{AMC}={90}^o-{30}^o={60}^o$

Xét đường tròn (D) ta có:

 $\widehat{ANC}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}$ (hệ quả góc nội tiếp)

Mà  $\widehat{ADC}={60}^o$ (do tam giác ADC đều)

$\Rightarrow \widehat{ANC}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

Có:  $\widehat{ANF}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (D))

$\Rightarrow \widehat{ANC}+\widehat{CNF}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{MNT}=\widehat{CNF}={90}^o-\widehat{ANC}={90}^o-{30}^o={60}^o$

Xét tam giác TMN có:

$\widehat{MNT}=\widehat{TMN}={60}^o$

Do đó, tam giác TMN đều

b)

 $\widehat{AMC}=\widehat{ANC}={30}^o$(cmt)

Do đó, tam giác AMN cân tại A

$\Rightarrow$ AM = AN

Do đó, A nằm trên đường trung trực của đoạn MN

Vì tam giác TMN đều nên TM = TN

Do đó, T nằm trên đường trung trực của đoạn MN

Do đó, AT là đường trung trực của đoạn MN

$\Rightarrow AT\perp MN$

Xét tam giác AHM có:

$\widehat{AHM}={90}^o$

 $AM=\frac{AH}{\sin M}=\frac{AH}{\sin {30}^o}=\frac{AH}{\frac{1}{2}}=2AH$(1)

Do tam giác TMN đều (cmt) có: TH vuông góc với MN nên TH là đường cao và cũng là đường phân giác của góc T

$\Rightarrow \widehat{MTA}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

Xét tam giác AMT vuông tại M

Có: $AT=\frac{AM}{\sin \widehat{MTA}}=\frac{AM}{\frac{1}{2}}=2AM$(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: AT = 2AM = 2.2AH = 4AH