Cho hai nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm

Giải SBT Toán 9 Ôn tập chương III

Bài 79 trang 114 SBT Toán 9 Tập 2:Cho hai nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn đó.Trên AC lấy điểm D sao cho AD = BC. Qua A kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn rồi lấy AE = AB (E và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB)

a) Tính quỹ tích điểm D

b) Tính diện tích phần chung của hai nửa hình tròn đường kính AB và AE

Lời giải:

a)

Chứng minh thuận

Nối DE

Xét tam giác ABC và tam giác AED có:

AB = AE (gt)

AD = BC (gt)

 $\widehat{EAD}=\widehat{ABC}$ (hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Do đó, tam giác ABC bằng tam giác AED (cạnh - góc - cạnh)

Mà  $\widehat{ACB}={90}^o$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{EDA}={90}^o$

Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì điểm D luôn nhìn đoạn AE cố định dưới một góc bằng ${90}^o$nên điểm D nằm trên nửa đường tròn đường kính AE nằm trong nửa mặt phẳng bờ AE chứa nửa đường tròn đường kính AB

Chứng minh đảo:

Trên nửa đường tròn đường kính AE lấy điểm D’ bất kì, đường thẳng AD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’. Nối ED’ ,BC’

Xét tam giác AC’B vuông tại C’ (do tam giác nội tiếp đường tròn đường kính AB)

$\Rightarrow \widehat{C\text{'}AB}+\widehat{C\text{'}BA}={90}^o$

Mà $\widehat{EA{D}^{\text{'}}}+\widehat{C\text{'}AB}=\widehat{EAB}={90}^o$

$\widehat{EA{D}^{\text{'}}}=\widehat{ABC\text{'}}$

Xét tam giác AD’E và tam giác BC’A có:

 $\widehat{D\text{'}}=\widehat{C\text{'}}={90}^o$ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AE = AB (gt)

 $\widehat{EA{D}^{\text{'}}}=\widehat{ABC\text{'}}$(cmt)

Do đó, tam giác AD’E và tam giác BC’A bằng nhau (góc – cạnh – góc)

$\Rightarrow AD\text{'}=BC\text{'}$

Vậy khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB thì quỹ tích điểm D là nửa đường tròn đường kính AE

b)

Gọi O và O’ lần lượt là tâm hai đường tròn đường kính AB và AE ,M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn

Vì AB = AE nên ta có : OA = OM = O’A = O’M

Do đó, tứ giác AOMO’ là hình thoi

Có $\widehat{BAE}={90}^o$

Do đó, AOMO’ là hình vuông

Diện tích phần chung của hai nửa đường tròn bằng diện tích hai quạt tròn có chung AmM trừ đi diện tích hình vuông

Diện tích hình quạt AOM là: $\frac{\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.90}{360}=\frac{\pi A{B}^2}{16}$(đơn vị diện tích)

Diện tích của hình vuông AOMO’ là: ${\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=\frac{A{B}^2}{4}$(đơn vị diện tích)

Diện tích phần chung là:  $2.\frac{\pi A{B}^2}{16}-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{A{B}^2}{8}\left(\pi -2\right)$ (đơn vị diện tích)